Каков объем прямоугольного параллелепипеда, у которого диагональ образует угол 45 градусов с плоскостью боковой грани

Японка

51

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать знания из геометрии. Давайте рассмотрим каждое условие по очереди.

Угол между диагональю и плоскостью боковой грани равен 45 градусам. При этом, мы знаем, что диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного ребром (стороной) прямоугольного параллелепипеда и еще одной из его сторон боковой грани.

Угол между диагональю и плоскостью основания равен 30 градусам. Этот угол образован диагональю и ребром (стороной) прямоугольного параллелепипеда, расположенным в плоскости основания параллелепипеда.

Чтобы найти объем параллелепипеда, нам нужно знать длины его сторон. Обозначим длину стороны, лежащей в плоскости боковой грани, как a, длину стороны, лежащей в плоскости основания, как b, и высоту параллелепипеда как h.

Используя тригонометрические соотношения, мы можем выразить a и b через h и другие известные величины. Давайте проиллюстрируем это:

Сперва рассмотрим угол 45 градусов. В прямоугольном треугольнике, образованного стороной a, стороной ребра параллелепипеда и диагональю, тангенс угла 45 градусов равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Таким образом, \(\tan(45°) = \frac{a}{h}\). Так как \(\tan(45°) = 1\), то мы можем записать это соотношение как \(1 = \frac{a}{h}\), откуда \(a = h\).

Аналогично, рассмотрим угол 30 градусов. В прямоугольном треугольнике, образованного стороной b, стороной ребра параллелепипеда и диагональю, тангенс угла 30 градусов равен отношению противолежащего катета (b) к прилежащему (h).

Таким образом, \(\tan(30°) = \frac{b}{h}\). Из таблицы значений тангенса угла 30 градусов (приближенно равен 0.577), мы можем записать это соотношение как \(0.577 = \frac{b}{h}\), откуда \(b = 0.577h\).

Теперь у нас есть выражения для длин сторон a и b через высоту h. Мы можем приступить к нахождению объема параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его трех сторон. В нашем случае, объем V будет равен \(V = a \cdot b \cdot h\). Подставляя выражения для a и b, получаем:

\[V = (h) \cdot (0.577h) \cdot (h) = 0.577h^3\]

Теперь, если мы заменим значение высоты h на его заданное значение (квадратный корень), мы сможем найти окончательный ответ.

\[V = 0.577 \cdot ( \sqrt{h})^3 = 0.577 \cdot h^{3/2}\]

В результате, объем прямоугольного параллелепипеда, удовлетворяющего заданным условиям, равен \(0.577 \cdot h^{3/2}\) или для конкретного значения \(h\), который нам неизвестен, или для \(\sqrt{h}\) (то есть квадратный корень из h).

Выполнена проверка на понимание вышеизложенного? Удалось ли разобраться в этой задаче?