Какова площадь полной поверхности конуса, если образующая его наклонена к плоскости основания под углом 60°, а

Solnce

38

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нам понадобятся две формулы - формула для площади боковой поверхности конуса и формула для площади основания.

1. Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле \(S_{\text{бок}} = \pi r l\), где \(r\) - радиус основания конуса, а \(l\) - длина образующей.

2. Чтобы найти радиус основания, нам нужно знать длину одной из сторон треугольника, вписанного в основание конуса. По теореме синусов мы можем найти длину противоположной стороны. Поскольку у нас известны длина одной стороны (8 см) и противолежащий угол (30°), мы можем использовать формулу \(\dfrac{a}{\sin(A)} = \dfrac{b}{\sin(B)}\), где \(a\) - длина стороны, \(A\) - противолежащий угол, \(b\) - неизвестная сторона, \(B\) - угол, образованный неизвестной стороной.

3. После того, как мы найдем радиус основания, нам понадобится вычислить длину образующей. Так как нам дан угол между наклоненной образующей и плоскостью основания (60°) и известна длина противоположенной стороны треугольника в основании (8 см), мы можем использовать теорему синусов снова для вычисления длины образующей.

Давайте приступим к решению:

1. Найдем длину противоположенной стороны треугольника в основании конуса:
\[
\dfrac{a}{\sin(A)} = \dfrac{b}{\sin(B)}
\]
\[
\dfrac{8}{\sin(30^\circ)} = \dfrac{b}{\sin(90^\circ)}
\]
\[
b = 8 \cdot \dfrac{\sin(90^\circ)}{\sin(30^\circ)}
\]

2. Вычислим радиус основания конуса:
\[
r = \dfrac{b}{2} = \dfrac{8 \cdot \dfrac{\sin(90^\circ)}{\sin(30^\circ)}}{2}
\]

3. Найдем длину образующей:
\[
l = \dfrac{a}{\sin(A)} = \dfrac{8}{\sin(30^\circ)}
\]

4. Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса, используя формулу \(S_{\text{бок}} = \pi r l\):
\[
S_{\text{бок}} = \pi \cdot \left(\dfrac{8 \cdot \dfrac{\sin(90^\circ)}{\sin(30^\circ)}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{8}{\sin(30^\circ)}\right)
\]

5. Наконец, чтобы получить полную площадь поверхности конуса, нужно добавить площадь основания. Формула для площади основания конуса - \(S_{\text{основания}} = \pi r^2\):
\[
S_{\text{полная}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{основания}} = \pi \cdot \left(\dfrac{8 \cdot \dfrac{\sin(90^\circ)}{\sin(30^\circ)}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{8}{\sin(30^\circ)}\right) + \pi \cdot \left(\dfrac{8 \cdot \dfrac{\sin(90^\circ)}{\sin(30^\circ)}}{2}\right)^2
\]

Вычислив эту формулу, мы получим площадь полной поверхности конуса. Пожалуйста, используйте калькулятор для выполнения всех необходимых математических вычислений.