1. Как выразить вектор NM→ через вектор a→, если в треугольнике ABC точки M и N являются серединами сторон AB

Laki

7

1. Чтобы найти вектор NM→ через вектор a→, мы можем использовать свойство серединных перпендикуляров. Поскольку точки M и N являются серединами сторон AB и BC соответственно, векторы MA→ и CN→ равны половине вектора AB→ и BC→ соответственно.

Таким образом, мы можем записать:
MA→ = \(\frac{1}{2}\) * AB→
CN→ = \(\frac{1}{2}\) * BC→

Так как AC→ = AB→ + BC→ (из свойств треугольника), мы можем получить:
AC→ = AB→ + BC→
А поскольку AC→ = a→ (задано в условии), мы можем переписать уравнение следующим образом:
a→ = AB→ + BC→

Теперь мы можем выразить AB→ и BC→ через заданный вектор a→:
AB→ = a→ - BC→

Но мы знаем, что MA→ = \(\frac{1}{2}\) * AB→, поэтому мы можем выразить вектор NM→ через вектор a→:
NM→ = MA→ - MC→
NM→ = \(\frac{1}{2}\) * AB→ - \(\frac{1}{2}\) * BC→
NM→ = \(\frac{1}{2}\) * (a→ - BC→)

Это и есть ответ на задачу номер 1. Мы выразили вектор NM→ через вектор a→ с использованием свойств серединных перпендикуляров и соотношения AC→ = AB→ + BC→.

2. Чтобы найти вектор MA→ через векторы z→ и v→, мы можем использовать свойства параллелограмма. Поскольку KA=AB=BN (задано в условии), а KL→=z→ и KN→=v→, мы можем найти вектор MA→, связав его с векторами KL→ и KN→.

Сначала заметим, что параллелограмм KLMN можно разделить на два треугольника KLA и MNB, общей стороной KL→.

Мы можем использовать треугольник KLA для нахождения вектора KL→ через вектор KA→:
KL→ = KA→ + AL→

Так как KA→=AB→ (согласно условию KA=AB), мы можем записать:
KL→ = AB→ + AL→

Теперь мы можем использовать треугольник MNB для нахождения вектора MN→ через вектор BN→:
MN→ = NB→ - MB→

Но MB→=AL→ (поскольку M и N являются серединами сторон KN→ и KL→), поэтому мы можем записать:
MN→ = NB→ - AL→

Теперь мы можем выразить вектор MA→ через векторы KL→ и MN→:
MA→ = KL→ + MN→
MA→ = (AB→ + AL→) + (NB→ - AL→)
MA→ = AB→ + NB→

Заметим, что KA→=AB→ и BN→=NB→ (согласно условию KA=AB и KA=BN), поэтому мы можем переписать уравнение следующим образом:
MA→ = KA→ + BN→

Таким образом, мы выразили вектор MA→ через векторы z→ и v→:
MA→ = KA→ + BN→

Это и есть ответ на задачу номер 2. Мы выразили вектор MA→ через векторы z→ и v→, используя свойства параллелограмма и соотношения KA=AB и KA=BN.

3. Чтобы найти вектор HE→ через векторы x→ и y→, мы можем использовать свойства треугольника EFG и среднюю линию HI→.

Заметим, что HI→ является половиной вектора EF→ (поскольку HI→ - средняя линия). То есть HI→ = \(\frac{1}{2}\) * EF→.

Мы также знаем, что HF→=y→ (задано в условии), поэтому мы можем записать:
EF→ = 2 * HI→ + HF→

Теперь мы можем выразить вектор HE→ через векторы EF→ и HI→:
HE→ = EF→ - HF→
HE→ = (2 * HI→ + HF→) - HF→
HE→ = 2 * HI→

Но мы знаем, что HI→=x→ (согласно условию HI→=x), поэтому мы можем выразить вектор HE→ через векторы x→ и y→:
HE→ = 2 * x→

Это и есть ответ на задачу номер 3. Мы выразили вектор HE→ через векторы x→ и y→, используя свойства треугольника EFG и среднюю линию HI→.