Контрольная работа по теме Параллелограмм и его разновидности Вариант 1 1. Один из отрезков параллелограмма имеет длину

Pchela

65

1. Пусть один отрезок параллелограмма имеет длину \(x\), а другой - \(3x\). Сумма длин всех сторон параллелограмма равна периметру, который равен 72 см.

Итак, периметр параллелограмма можно записать следующим образом: \(2x + 2(3x) = 72\).

Раскроем скобки и объединим подобные слагаемые: \(2x + 6x = 72\).

Теперь сложим переменные и получим: \(8x = 72\).

Чтобы найти значение переменной, разделим обе части уравнения на 8: \(x = \frac{72}{8} = 9\).

Таким образом, длина одного отрезка равна 9 см, а длина другого отрезка равна \(3 \cdot 9 = 27\) см.

2. Для начала, найдем длину диагонали AC прямоугольника ABCD, используя теорему Пифагора.

По теореме Пифагора: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\).

Так как прямоугольник ABCD - прямоугольник, то AB и BC - это стороны прямоугольника.

Мы знаем, что AB = 10 см, а BC = BD - CD. Так как BD = 12 см, а диагонали прямоугольника равны, то BC = CD = 12/2 = 6 см.

Подставляя значения в формулу, получаем: \(AC^2 = 10^2 + 6^2 =100 + 36 = 136\).

Теперь найдем длину диагонали AC: \(AC = \sqrt{136} \approx 11.66\) см.

Далее, у нас есть треугольник COD, в котором мы знаем, что одна сторона равна 11.66 см. Давайте найдем периметр этого треугольника.

Так как диагонали AC и BD параллельны, то треугольники ABC и CDA подобны, а значит, соответствующие стороны пропорциональны.

Так как AB = CD = 6 см, а AC = BD = 11.66 см, то соотношение между сторонами будет: \(\frac{OD}{DB} = \frac{CD}{AB}\).

Подставляем значения: \(\frac{OD}{12} = \frac{6}{10}\).

Для решения полученного уравнения найдем значение OD: \(OD = \frac{6 \cdot 12}{10} = \frac{72}{10} = 7.2\) см.

Теперь находим две оставшиеся стороны треугольника.

Используем теорему Пифагора для нахождения BC: \(BC^2 = BD^2 - CD^2\).

Подставляем значения: \(BC^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108\).

Находим BC: \(BC = \sqrt{108} = 3\sqrt{3}\) см.

Используем теорему Пифагора для нахождения OC: \(OC^2 = AC^2 - AO^2\).

Подставляем значения: \(OC^2 = 11.66^2 - 7.2^2 = 136 - 52.01 = 83.99\).

Находим OC: \(OC = \sqrt{83.99} \approx 9.165\) см.

Теперь находим периметр треугольника COD, сложив все стороны: \(Perimeter_{COD} = OD + BC + OC\).

Подставляем значения: \(Perimeter_{COD} = 7.2 + 3\sqrt{3} + 9.165 \approx 19.962 + 3\sqrt{3}\) см.

3. В ромбе сумма всех углов равна 360°. Следовательно, каждый угол ромба равен \(\frac{360}{4} = 90°\).

У нас дано, что один из углов ромба равен 64°.

Чтобы найти остальные углы ромба, вычтем из 90° угол 64° и поделим полученную разность на 2.

Таким образом, углы, образованные стороной ромба и его диагоналями, равны \(\frac{90° - 64°}{2} = 13°\).

4. Для начала, рассмотрим треугольники ABM и CDK.

У нас дано, что угол BAM равен углу DCK и что точка M находится между точками B и K.

Так как параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, то мы можем сделать вывод, что пары углов BAM и DCK являются соответственными углами в параллелограмме.

Альтернативно, мы можем рассмотреть теорему о параллельных линиях, которая гласит: "Если прямая пересекает две параллельные прямые, то соответственные углы равны".

Таким образом, у нас есть равные углы ВАМ и DCK.

Теперь рассмотрим треугольники AMB и CKD.

У нас есть AG = CK и GM = DK (по определению параллелограмма).

Также мы знаем, что угол BAM равен углу DCK.

Следовательно, по стороне-уголу-стороне (СУС), треугольники AMB и CKD равны.

Альтернативно, мы можем использовать критерий равенства треугольников, который состоит в том, что треугольники равны, если у них равны две стороны и между ними равные углы.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что BM = DK.

5. Чтобы найти биссектрису угла в треугольнике, можно использовать формулу для нахождения биссектрисы:

\[BI = \frac{{a \cdot \sqrt{p \cdot (p - b)}}}{{p - c}}\],

где \(a\), \(b\), и \(c\) - это стороны треугольника, а \(p\) - полупериметр треугольника.

Но у нас нет значений сторон треугольника, поэтому найти точное значение биссектрисы будет сложно. Мы можем дать общую формулу для рассчета биссектрисы угла в треугольнике, но без конкретных числовых значений. Например, в треугольнике ABC биссектриса угла A будет:

\[BI = \frac{{BC \cdot AB}}{{BC + AC}}\].

Таким образом, вы можете использовать эту формулу, чтобы найти значение биссектрисы угла в треугольнике с известными значениями сторон.