1. Какая площадь у треугольника ABC, если AB=4, AC=1 и cos угла BAC равен квадратному корню из 3/2? 2. Чему равен угол

Yuzhanka_1278

27

Задача 1:
Для решения этой задачи воспользуемся формулой для площади треугольника, выраженной через длины сторон и косинус угла между данными сторонами:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(BAC)\]

Дано: AB = 4, AC = 1, \(\cos(BAC) = \sqrt{\frac{3}{2}}\)

Для нахождения синуса угла BAC воспользуемся тригонометрической теоремой:

\[\sin^2(BAC) + \cos^2(BAC) = 1\]

Так как нам известен косинус угла BAC, можем найти синус:

\[\sin^2(BAC) = 1 - (\sqrt{\frac{3}{2}})^2 = 1 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\]

\[\sin(BAC) = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Теперь, подставив данные в формулу для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(\sqrt{2}\).

Задача 2:
Известно, что угол между хордой и радиусом, проведенным к точке пересечения хорды, равен половине угла, заключенного между сторонами хорды.

Дано: угол БАО = 30°

Угол АОВ равен дважды углу БАО:

Угол АОВ = 2 * 30° = 60°

Таким образом, угол АОВ равен 60 градусам.

Задача 3:
Высота, проведенная к основанию пирамиды в правильной пирамиде, является биссектрисой основания.

Дано: AB = 2, AE = 6

Так как пирамида правильная, высота EH проходит через центр основания ABCD.

Используя свойство биссектрисы, мы можем найти значение EH:

\[\frac{EH}{EB} = \frac{AE}{AB + AE}\]

\[\frac{EH}{2} = \frac{6}{2 + 6} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\]

\[EH = \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3}{2}\]

Таким образом, высота EH равна \(\frac{3}{2}\).

Задача 4:
Для нахождения радиуса полусферы воспользуемся формулой для объема полусферы:

\[V = \frac{2}{3} \pi r^3\]

Дано: V = 18π

Подставим данное значение в формулу и решим уравнение относительно радиуса r:

\[\frac{2}{3} \pi r^3 = 18 \pi\]

\[r^3 = \frac{18 \pi}{\frac{2}{3} \pi} = \frac{18 \pi \cdot 3}{2 \pi} = 9 \cdot 3 = 27\]

\[r = \sqrt[3]{27} = 3\]

Таким образом, радиус полусферы равен 3.

Задача 5:
Для определения положения точки относительно сферы, нужно подставить координаты точки в уравнение сферы и проверить выполнение.

Дано: координаты точки A(1;4;2) и уравнение сферы \((x-2)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=9\)

Подставим координаты точки A в уравнение:

\((1-2)^2+(4+1)^2+(2-2)^2 = 1 + 25 + 0 = 26\)

Получили, что левая часть уравнения не равна 9, следовательно, точка A не лежит на сфере.

Поскольку левая часть больше правой (26 > 9), точка A находится снаружи сферы.

Таким образом, точка A находится снаружи сферы.