Яка площа чотирикутника, якщо його ортогональна проекція є прямокутник, який має діагональ рівну кореню з 113

Светлый_Ангел_7623

51

Щоб знайти площу чотирикутника, треба знати довжини всіх його сторін. З даного тексту нам відомі деякі параметри: одна зі сторін прямокутника має довжину 9 см, а його діагональ дорівнює кореню з 113 см.

Нам важливою інформацією для розв"язання задачі є той факт, що ортогональна проекція чотирикутника є прямокутником. Проекція означає, що прямі, які утворюють прямокутник, перпендикулярні до площини чотирикутника. З іншими словами, площина чотирикутника взаємно перпендикулярна до площини прямокутника.

Тому, якщо ми знайдемо кут між цими площинами, ми зможемо використати геометричні властивості для знаходження площі чотирикутника.

Для цього нам знадобиться інформація про діагональ прямокутника. За теоремою Піфагора, якщо \(a\) і \(b\) - сторони прямокутника, а \(c\) - його діагональ, то має місце рівність: \(c^2 = a^2 + b^2\). Знаючи, що діагональ дорівнює кореню з 113 см, а одна зі сторін загадкового чотирикутника - 9 см, ми зможемо знайти другу сторону прямокутника.

Розв"яжемо рівняння за допомогою простої математики:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Підставимо відомі значення:

\[\sqrt{113}^2 = 9^2 + b^2\]

\[113 = 81 + b^2\]

\[b^2 = 113 - 81\]

\[b^2 = 32\]

\[b = \sqrt{32}\]

Значення \(b\) знайдено, і воно дорівнює \(\sqrt{32}\) см.

Тепер, щоб знайти кут між площинами, можемо скористатися теоремою косинусів. Якщо \(a\), \(b\) і \(c\) - сторони трикутника, а \(A\) - кут між сторонами \(a\) і \(b\), тоді теорема каже:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(A)\]

У нашому випадку, замість \(A\) ми хочемо знайти кут між площинами, який позначити як \(x\), а замість сторін трикутника використаємо відомі нам значення: \(a = 9\), \(b = \sqrt{32}\) і \(c = \sqrt{113}\).

Вставляємо ці значення в теорему косинусів:

\[\sqrt{113}^2 = 9^2 + \sqrt{32}^2 - 2 \cdot 9 \cdot \sqrt{32} \cdot \cos(x)\]

Розв"язуємо рівняння:

\[113 = 81 + 32 - 2 \cdot 9 \cdot \sqrt{32} \cdot \cos(x)\]

\[32 = -2 \cdot 9 \cdot \sqrt{32} \cdot \cos(x)\]

\[-2\sqrt{32} \cdot \cos(x) = \frac{32}{9}\]

\[\cos(x) = \frac{\frac{32}{9}}{-2\sqrt{32}}\]

\[\cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{9}\]

Знаючи значення косинуса, можна знайти синус за допомогою тригонометричного тотожності \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\). Підставимо значення косинуса:

\[\sin^2(x) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{9}\right)^2 = 1\]

\[\sin^2(x) + \frac{2}{81} = 1\]

\[\sin^2(x) = 1 - \frac{2}{81}\]

\[\sin^2(x) = \frac{79}{81}\]

\[\sin(x) = \sqrt{\frac{79}{81}}\]

Тепер, знаючи значення синуса, можемо ввести цей кут у формулу \(\sin(x) = \frac{b}{c}\):

\[\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{113}} = \sqrt{\frac{79}{81}}\]

\[\sqrt{32} \cdot \sqrt{81} = \sqrt{113} \cdot \sqrt{79}\]

\[\sqrt{32} \cdot 9 = \sqrt{113} \cdot \sqrt{79}\]

\[9\sqrt{32} = \sqrt{113 \cdot 79}\]

\[9\sqrt{32} = \sqrt{8927}\]

\[9\sqrt{32} \approx 150.33\]

Отримали приблизне значення кута між площинами чотирикутника та прямокутника. Тепер можемо запитати в УчителяGPT, якою буде площа чотирикутника з довжинами сторін, які нам відомі, і отримати відповідь в числовому значенні.