1) Какая разница в высоте, на которой находятся поршни, если вода налита в сообщающиеся сосуды с площадями сечений

Булька

46

1) Для решения этой задачи мы будем использовать закон Архимеда, который говорит, что на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной жидкости.

Для начала найдем объем вытесненной воды. Объем вытесненной воды будет равен объему цилиндра, заполненного водой и находящегося между поршнями. Объем цилиндра можно найти по формуле \( V = S \cdot h \), где \( S \) - площадь сечения цилиндра, \( h \) - высота цилиндра.

Пусть высота между поршнями равна \( H \), тогда объем вытесненной воды будет равен \( V = S_1 \cdot H_1 = S_2 \cdot H_2 \), где \( S_1 \) и \( S_2 \) - площади сечений поршней, \( H_1 \) и \( H_2 \) - высоты между поршнями, соответственно.

Теперь найдем массу вытесненной воды, используя ее плотность. Масса вытесненной воды будет равна \( m = \rho \cdot V \), где \( \rho \) - плотность воды.

По закону Архимеда на каждый поршень действует сила поддержания, равная весу вытесненной воды. Вес определяется формулой \( P = m \cdot g \), где \( g \) - ускорение свободного падения.

Таким образом, разница в высоте между поршнями будет равна разности высот, на которых действуют силы поддержания. Разность высот можно выразить через разность сил, поделив разность сил на сумму площадей сечений поршней.

Полученные формулы для решения задачи:

\[
V = S_1 \cdot H_1 = S_2 \cdot H_2
\]

\[
m = \rho \cdot V
\]

\[
P_1 - P_2 = m \cdot g = \rho \cdot V \cdot g
\]

\[
H_1 - H_2 = \frac{{P_1 - P_2}}{{S_1 + S_2}}
\]

Теперь подставим известные значения и найдем разницу в высоте между поршнями:

\[
H_1 - H_2 = \frac{{(\rho \cdot S_1 \cdot H_1 - \rho \cdot S_2 \cdot H_2)}}{{S_1 + S_2}}
\]

\[
H_1 - H_2 = \frac{{\rho \cdot (S_1 \cdot H_1 - S_2 \cdot H_2)}}{{S_1 + S_2}}
\]

\[
H_1 - H_2 = \frac{{1000 \, \text{кг/м}^3 \cdot (10 \, \text{см}^2 \cdot H_1 - 30 \, \text{см}^2 \cdot H_2)}}{{10 \, \text{см}^2 + 30 \, \text{см}^2}}
\]

\[
H_1 - H_2 = \frac{{10^3 \, \text{кг/м}^3 \cdot (10 \, \text{см}^2 \cdot H_1 - 30 \, \text{см}^2 \cdot H_2)}}{{40 \, \text{см}^2}}
\]

Следует отметить, что в приведенных выше результатах высоты \( H_1 \) и \( H_2 \) выражены в метрах. To convert from meters to centimeters, multiply the heights by \( 10^2 \).

2) Чтобы найти, на сколько опустится поршень с грузом массой \( m_3 \), мы можем воспользоваться законом Архимеда. В данном случае, груз добавляет дополнительную массу, и мы должны учесть этот факт при расчете изменения высоты поршня.

По аналогии с предыдущей задачей, сила поддержания на поршень с грузом будет равна разности веса вытесненной жидкости и веса груза.

То есть, разность весов будет определять изменение силы поддержания и, соответственно, изменение высоты поршня.

Запишем формулу для решения этой задачи:

\[
H_{\text{поршня с грузом}} - H_2 = \frac{{(\rho \cdot S_2 \cdot H_{\text{поршня с грузом}} - m_3 \cdot g)}}{{S_2}}
\]

Теперь заменим известные значения и найдем изменение высоты поршня с грузом:

\[
H_{\text{поршня с грузом}} - H_2 = \frac{{(1000 \, \text{кг/м}^3 \cdot 30 \, \text{см}^2 \cdot H_{\text{поршня с грузом}} - 120 \, \text{г} \cdot 10 \, \text{м/с}^2)}}{{30 \, \text{см}^2}}
\]

\[
H_{\text{поршня с грузом}} - H_2 = \frac{{(10^3 \, \text{кг/м}^3 \cdot 30 \, \text{см}^2 \cdot H_{\text{поршня с грузом}} - 120 \, \text{г} \cdot 10 \, \text{м/с}^2)}}{{30 \, \text{см}^2}}
\]

Снова отметим, что в результате получим значение в метрах. Если необходимо ответить в сантиметрах, следует умножить высоты на \( 10^2 \).