1) Какие координаты имеет вектор AB, если A(12;5) и B(6;1)? 2) Если AB и CD имеют равные векторы и A(-15;9), B(6;-4

Ledyanoy_Vzryv

68

1) Для нахождения координат вектора AB мы вычисляем разность между координатами конечной точки B и начальной точки A:

\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (6;1) - (12;5) = (-6;-4) \]

Таким образом, координаты вектора AB равны (-6;-4).

2) Если AB и CD имеют равные векторы, то начало вектора CD будет иметь те же координаты, что и начало вектора AB. Из условия задачи известно, что A(-15;9), поэтому начало вектора CD будет иметь такие же координаты:

\[ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} = (-6;-4) \]

Таким образом, начало вектора CD будет иметь координаты (-6;-4).

3) Для нахождения длины вектора AB мы используем формулу расстояния между двумя точками:

\[ \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

где \((x_1, y_1)\) - координаты начальной точки A, а \((x_2, y_2)\) - координаты конечной точки B.

Подставив значения из условия задачи, получим:

\[ \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(4 - 7)^2 + (9 - (-3))^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} \]

Таким образом, длина вектора AB равна \(\sqrt{153}\).

4) а) Для нахождения скалярного произведения векторов a и b мы используем следующую формулу:

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \]

где \(a_x\) и \(a_y\) - координаты вектора a, а \(b_x\) и \(b_y\) - координаты вектора b.

Подставив значения из условия задачи, получим:

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 \cdot 3 + (-2) \cdot 5 = 12 - 10 = 2 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов a и b равно 2.

Угол между векторами a и b можно найти с помощью следующей формулы:

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\|\overrightarrow{a}\| \cdot \|\overrightarrow{b}\|} \]

где \(\|\overrightarrow{a}\|\) и \(\|\overrightarrow{b}\|\) - длины векторов a и b.

Подставив значения, получим:

\[ \cos(\theta) = \frac{2}{\sqrt{4 + (-2)^2} \cdot \sqrt{3^2 + 5^2}} = \frac{2}{\sqrt{4 + 4} \cdot \sqrt{9 + 25}} = \frac{2}{2 \cdot \sqrt{34}} = \frac{1}{\sqrt{34}} \]

Таким образом, угол между векторами a и b равен \(\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{34}}\right)\).

б) Повторим аналогичные шаги для векторов b и c:

\[ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 4 \cdot (-7) + 5 \cdot 2 = -28 + 10 = -18 \]

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}}{\|\overrightarrow{b}\| \cdot \|\overrightarrow{c}\|} = \frac{-18}{\sqrt{4 + 5^2} \cdot \sqrt{(-7)^2 + 2^2}} = \frac{-18}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{53}} \]

Таким образом, скалярное произведение векторов b и c равно -18, а угол между ними будет равен \(\theta = \arccos\left(\frac{-18}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{53}}\right)\).

в) Проделаем аналогичные вычисления для векторов a и c:

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 6 \cdot (-5) + (-3) \cdot (-10) = -30 + 30 = 0 \]

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}}{\|\overrightarrow{a}\| \cdot \|\overrightarrow{c}\|} = \frac{0}{\sqrt{6^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-10)^2}} = \frac{0}{\sqrt{45} \cdot \sqrt{125}} \]

Таким образом, скалярное произведение векторов a и c равно 0, что говорит нам о том, что они перпендикулярны - угол между ними равен 90 градусам.

5) Векторы a(4;6) и b(x;-5) будут перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 \cdot x + 6 \cdot (-5) = 4x - 30 = 0 \]

Решим уравнение для x:

\[ 4x = 30 \Rightarrow x = \frac{30}{4} = 7.5 \]

Таким образом, векторы a и b будут перпендикулярны при значении x равном 7.5.