1. Какие определения равенства многочленов вы знаете? В чем различия между ними? 2. Сколько корней может иметь

Igorevna

4

1. Определение равенства многочленов:
- Два многочлена \(A(x)\) и \(B(x)\) равны, если все их коэффициенты равны соответственно: \(A(x) = B(x)\).
- Два многочлена эквивалентны, если они равны при любом значении переменной \(x\) (как функции): \(A(x) \equiv B(x)\).

Различие между этими определениями заключается в том, что равные многочлены имеют одинаковые коэффициенты, в то время как эквивалентные многочлены могут иметь разные коэффициенты, но при этом они будут равны при любом значении переменной \(x\).

2. Количество корней многочлена:
Многочлен степени \(n\) может иметь до \(n\) различных корней в комплексных числах.

3. Точки, определяемые многочленом \(n\)-й степени:
Многочлен \(n\)-й степени определяет \(n\) точек на координатной плоскости. Эти точки могут быть корнями многочлена или произвольными значениями, которые можно подставить в многочлен.

4. Проверка тождественного равенства многочленов четвертой степени:
Для подтверждения тождественного равенства двух многочленов четвертой степени достаточно проверить равенство коэффициентов при каждой степени переменной \(x\). Следовательно, нужно проверить 5 коэффициентов.

5. Примеры неравенств, которые всегда выполняются:
- \(x^2 \geq 0\) для любого значения \(x\).
- \(2x+1 > x\) для любого значения \(x\).
- \(|x| \geq 0\) для любого значения \(x\).
- \(0 \leq x^2 + 1\) для любого значения \(x\).

6. Неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического двух чисел:
- Среднее арифметическое двух чисел равно сумме этих чисел, разделенной на 2: \(\frac{{a+b}}{2}\).
- Среднее геометрическое двух чисел равно квадратному корню из произведения этих чисел: \(\sqrt{{ab}}\).

Обобщение для \(p\) чисел:
- Среднее арифметическое \(p\) чисел равно сумме всех чисел, разделенной на \(p\): \(\frac{{a_1 + a_2 + \ldots + a_p}}{p}\).
- Среднее геометрическое \(p\) чисел равно корню \(p\)-й степени из их произведения: \(\sqrt[p]{{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_p}}\).

7. Использование признака монотонности функции:
С помощью признака монотонности функции можно определить, возрастает функция на интервале или убывает.

Чтобы использовать признак монотонности, нужно найти производную функции и исследовать ее знак на интервале. Если производная положительна на интервале, то функция возрастает на этом интервале, а если производная отрицательна, то функция убывает на этом интервале. Если производная равна нулю, то функция имеет локальный экстремум в этой точке.

Этот признак позволяет понять, в каком направлении функция изменяется на интервале и какие значения может принимать.