1) Какие значения функции у=8x^2- x^4/4 являются экстремумами и каковы они? 2) Как выглядит график функции у=6x-2x^3?

Алексей

1

1) Чтобы найти экстремумы функции \(y = 8x^2 - \frac{x^4}{4}\), нам нужно сначала найти её производную и приравнять её к нулю. Производная функции \(y\) будет равна:

\[y" = 16x - x^3\]

Теперь мы приравниваем \(y"\) к нулю и решаем уравнение:

\[16x - x^3 = 0\]

Факторизуем его:

\[x(x - 4)(x + 4) = 0\]

Из этого уравнения видно, что значения функции \(y\) будут иметь экстремумы в трех точках: \(x = 0\), \(x = 4\) и \(x = -4\).

Для определения типа экстремума в каждой точке, нам необходимо проанализировать вторую производную функции \(y\), которую можно найти путем дифференцирования \(y"\) посредством использования правила дифференцирования степени:

\[y"" = 16 - 3x^2\]

Теперь мы можем подставить значения \(x = 0\), \(x = 4\) и \(x = -4\) в \(y""\) и определить характер экстремума в каждой точке.

Для значения \(x = 0\):

\[y""(0) = 16 - 3(0)^2 = 16\]

Так как \(y""(0) > 0\), то у нас имеется минимум функции \(y\) в точке \(x = 0\).

Для значения \(x = 4\):

\[y""(4) = 16 - 3(4)^2 = 16 - 48 = -32\]

Так как \(y""(4) < 0\), то у нас имеется максимум функции \(y\) в точке \(x = 4\).

Для значения \(x = -4\):

\[y""(-4) = 16 - 3(-4)^2 = 16 - 3(16) = -32\]

Так как \(y""(-4) < 0\), то у нас имеется максимум функции \(y\) в точке \(x = -4\).

Итак, значения функции \(y\) в экстремумах составляют:

- Минимум в точке \(x = 0\) с \(y = 0\)
- Максимум в точке \(x = 4\) с \(y = 128\)
- Максимум в точке \(x = -4\) с \(y = 128\)

2) Чтобы построить график функции \(y = 6x - 2x^3\), нам нужно использовать координатную плоскость. Мы начинаем с выбора некоторых значений для \(x\) и последующего вычисления соответствующих значений \(y\). Затем мы строим график, соединяя эти точки линией.

Давайте выберем несколько значений для \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\):

- При \(x = -2\), \(y = 6(-2) - 2(-2)^3 = -12 + 16 = 4\)
- При \(x = -1\), \(y = 6(-1) - 2(-1)^3 = -6 + 2 = -4\)
- При \(x = 0\), \(y = 6(0) - 2(0)^3 = 0\)
- При \(x = 1\), \(y = 6(1) - 2(1)^3 = 6 - 2 = 4\)
- При \(x = 2\), \(y = 6(2) - 2(2)^3 = 12 - 16 = -4\)

Теперь мы можем нарисовать эти точки на координатной плоскости и соединить их линией. Полученный график будет иметь форму кривой линии, проходящей через эти пять точек.

\[graph\]