1. Какие значения углов у правильного сорокапятиугольника? 2. Какова площадь круга, который вписан в правильный

Суслик

7

1. Правильный сорокапятиугольник - это многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Для нахождения значений углов сорокапятиугольника, мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[\text{сумма углов} = (n - 2) \times 180^\circ,\]

где \(n\) - количество сторон многоугольника. В случае сорокапятиугольника, \(n = 45\), поэтому:

\[\text{сумма углов} = (45 - 2) \times 180^\circ = 43 \times 180^\circ = 7740^\circ.\]

Так как у правильного сорокапятиугольника все углы равны, чтобы найти значение одного угла, разделим сумму углов на количество углов:

\[\text{значение одного угла} = \frac{\text{сумма углов}}{\text{количество углов}} = \frac{7740^\circ}{45} \approx 171.33^\circ.\]

Таким образом, каждый угол правильного сорокапятиугольника составляет около \(171.33^\circ\).

2. Для нахождения площади круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см, мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[\text{площадь круга} = \pi \times \text{радиус}^2.\]

Радиус круга можно найти, используя формулу:

\[\text{радиус} = \frac{\text{сторона}}{2} = \frac{10 \, \text{см}}{2} = 5 \, \text{см}.\]

Теперь мы можем вычислить площадь круга:

\[\text{площадь круга} = \pi \times 5^2 = 25 \pi \, \text{см}^2.\]

Таким образом, площадь круга, который вписан в правильный шестиугольник со стороной 10 см, равна \(25 \pi \, \text{см}^2\).

3. Если около окружности описан правильный треугольник со стороной 18 см, то радиус этой окружности равен радиусу окружности, вписанной в треугольник. Чтобы найти радиус вписанной окружности, можно воспользоваться формулой:

\[\text{радиус вписанной окружности} = \frac{\text{сторона треугольника}}{2 \times \text{тангенс половинного угла}}.\]

Поскольку у правильного треугольника все углы равны 60°, половинный угол равен 30°. Подставляя значения в формулу, получаем:

\[\text{радиус вписанной окружности} = \frac{18 \, \text{см}}{2 \times \text{тангенс}(30^\circ)}.\]

Тангенс 30° равен \(\sqrt{3}\), поэтому:

\[\text{радиус вписанной окружности} = \frac{18 \, \text{см}}{2 \times \sqrt{3}} = \frac{3 \, \text{см}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \, \text{см} \times \sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \, \text{см}.\]

Таким образом, сторона квадрата вписанного в эту окружность равна \(\sqrt{3} \, \text{см}\).

4. При радиусе 5 см у окружности, вписанной в правильный многоугольник со стороной 10 см:

1) Радиус окружности, описанной вокруг многоугольника, также является радиусом этой многоугольной окружности, так как они образуют равнобедренный треугольник вместе со стороной многоугольника. Следовательно, радиус окружности, описанной вокруг многоугольника, также равен 5 см.

2) Количество сторон многоугольника можно найти, используя следующую формулу:

\[\text{количество сторон} = \frac{360^\circ}{\text{значение одного угла}}.\]

Значение одного угла можно найти, используя следующую формулу:

\[\text{значение одного угла} = \frac{\text{сумма углов}}{\text{количество углов}},\]

где сумма углов равна \(180(n-2)\), а \(n\) - количество сторон многоугольника.

Для нашего многоугольника с радиусом 5 см и стороной 10 см мы уже знаем, что значение одного угла равно \(171.33^\circ\). Подставляя значения в формулу для нахождения количества сторон, получаем:

\[\text{количество сторон} = \frac{360^\circ}{171.33^\circ} \approx 2.103 \, \text{стороны}.\]

Таким образом, количество сторон многоугольника около 2.103 или округлённо до целого числа - 2 стороны.

5. У треугольника со стороной \(8 \sqrt{2}\) см и углами 35° и 100°, чтобы найти длину дуг, на которые делится описанная окружность, мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[\text{длина дуги} = \frac{\text{измерение центрального угла}}{360^\circ} \times 2\pi \times \text{радиус окружности}.\]

Радиус окружности можно найти, используя формулу:

\[\text{радиус окружности} = \frac{\text{сторона треугольника}}{2\sin 100^\circ}.\]

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[\text{радиус окружности} = \frac{8\sqrt{2} \, \text{см}}{2\sin 100^\circ}.\]

Значение синуса 100° можно найти, используя дополнительную формулу:

\[\sin 100^\circ = \sin (180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ.\]

Значение синуса 80° равно \(\sqrt{3} - 1\), поэтому:

\[\text{радиус окружности} = \frac{8\sqrt{2} \, \text{см}}{2(\sqrt{3}-1)} = \frac{4\sqrt{2} \, \text{см}}{\sqrt{3}-1}.\]

Поскольку у нас две дуги, мы можем вычислить обе:
Для первой дуги, соответствующей углу в 35°:

\[\text{длина первой дуги} = \frac{35^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times \frac{4\sqrt{2} \, \text{см}}{\sqrt{3}-1}.\]

Для второй дуги, соответствующей углу в 100°:

\[\text{длина второй дуги} = \frac{100^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times \frac{4\sqrt{2} \, \text{см}}{\sqrt{3}-1}.\]

Подставляя значения и упрощая выражения, получаем:

\[\text{длина первой дуги} \approx 0.163\sqrt{2}\pi \, \text{см} \approx 0.364\pi \, \text{см}.\]

\[\text{длина второй дуги} \approx 0.444\sqrt{2}\pi \, \text{см} \approx 0.993\pi \, \text{см}.\]

Таким образом, длина первой дуги, на которую делится описанная окружность, примерно равна \(0.364\pi \, \text{см}\), а длина второй дуги - примерно \(0.993\pi \, \text{см}\).