1) Какими значениями не может быть третий член геометрической прогрессии, если первый член равен 2? 2) Найдите значение

Гроза

29

1) В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем. Найдем формулу для вычисления членов геометрической прогрессии:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Где $a_n$ - n-й член геометрической прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $q$ - знаменатель прогрессии, $n$ - номер члена прогрессии.

1) Для нахождения значений, которые не может принимать третий член геометрической прогрессии, установим ограничения. Пусть первый член равен 2, а третий член равен $a_3$. Подставляя значения в формулу, получаем:

$a_3=2\cdot q^{3-1}$
$a_3=2\cdot q^2$

Третий член геометрической прогрессии имеет такие значения, какие могут быть получены при умножении числа 2 на квадраты знаменателя $q$. Значит, третий член не может быть отрицательным и нулевым, так как квадрат любого числа всегда положителен. Ответ: третий член не может быть отрицательным числом или нулем.

2) Для нахождения значения знаменателя геометрической прогрессии ($q$), мы можем использовать первые три члена прогрессии.

Имеем следующую систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}5=2\cdot q\\ -2=5\cdot q\\ 12=-2\cdot q\end{array}$$

Решим эту систему уравнений.

Из первого уравнения получаем $q=\frac{5}{2}$. Подставим это значение во второе и третье уравнения, чтобы проверить его:

$$-2=5\cdot \frac{5}{2}=\frac{25}{2}$$

$$12=-2\cdot \frac{5}{2}=-5$$

Заметим, что значения не совпадают. Это значит, что система уравнений не имеет решений, соответственно, не существует одного-единственного значения для знаменателя геометрической прогрессии. Ответ: в данном случае невозможно найти значение знаменателя.

3) Для нахождения значения второго члена геометрической прогрессии ($a_2$), где первый член равен 3, а третий член равен 27, мы можем использовать формулу вычисления членов геометрической прогрессии.

Имеем следующую систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\\ a_3=27\end{array}$$

Подставив значения в формулу, получаем:

$a_3=a_1\cdot q^{3-1}$
$27=3\cdot q^2$

Решим это уравнение для нахождения значения знаменателя $q$:

$q^2=\frac{27}{3}=9$
$q=\sqrt{9}=\pm 3$

Теперь, подставляем найденное значение знаменателя в первое уравнение, чтобы найти значение второго члена:

$a_2=a_1\cdot q^{2-1}$
$a_2=3\cdot 3^{2-1}=3\cdot 3^1=3\cdot 3=9$

Ответ: значение второго члена геометрической прогрессии равно 9.

4) Для нахождения шестого члена геометрической прогрессии ($a_6$), где первый член равен 5 и знаменатель равен -1, мы можем использовать формулу вычисления членов геометрической прогрессии:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Подставляем значения в формулу:

$a_6=5\cdot (-1{)}^{6-1}$
$a_6=5\cdot (-1{)}^5$
$a_6=5\cdot (-1)$
$a_6=-5$

Ответ: шестой член геометрической прогрессии равен -5.

5) Для нахождения значения знаменателя геометрической прогрессии ($q$), где первый член равен 12 и четвертый член равен $a_4$, мы можем использовать формулу вычисления членов геометрической прогрессии:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Имеем следующую систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}{a}_1=12\\ a_4=-8\end{array}$$

Подставляем значения в формулу:

$a_4=a_1\cdot q^{4-1}$
$-8=12\cdot q^3$

Решим это уравнение для нахождения значения знаменателя $q$:

$q^3=\frac{-8}{12}=-\frac{2}{3}$
$q=\sqrt[3]{-\frac{2}{3}}$

Ответ: значение знаменателя геометрической прогрессии равно $\sqrt[3]{-\frac{2}{3}}$.