1) Какими значениями не может быть третий член геометрической прогрессии, если первый член равен 2? 2) Найдите значение

Гроза

29

1) В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем. Найдем формулу для вычисления членов геометрической прогрессии:

\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)

Где \(a_n\) - n-й член геометрической прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии.

1) Для нахождения значений, которые не может принимать третий член геометрической прогрессии, установим ограничения. Пусть первый член равен 2, а третий член равен \(a_3\). Подставляя значения в формулу, получаем:

\(a_3 = 2 \cdot q^{3-1}\)
\(a_3 = 2 \cdot q^2\)

Третий член геометрической прогрессии имеет такие значения, какие могут быть получены при умножении числа 2 на квадраты знаменателя \(q\). Значит, третий член не может быть отрицательным и нулевым, так как квадрат любого числа всегда положителен. Ответ: третий член не может быть отрицательным числом или нулем.

2) Для нахождения значения знаменателя геометрической прогрессии (\(q\)), мы можем использовать первые три члена прогрессии.

Имеем следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
5 = 2 \cdot q \\
-2 = 5 \cdot q \\
12 = -2 \cdot q \\
\end{cases}
\]

Решим эту систему уравнений.

Из первого уравнения получаем \(q = \frac{5}{2}\). Подставим это значение во второе и третье уравнения, чтобы проверить его:

\[
-2 = 5 \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{2}
\]

\[
12 = -2 \cdot \frac{5}{2} = -5
\]

Заметим, что значения не совпадают. Это значит, что система уравнений не имеет решений, соответственно, не существует одного-единственного значения для знаменателя геометрической прогрессии. Ответ: в данном случае невозможно найти значение знаменателя.

3) Для нахождения значения второго члена геометрической прогрессии (\(a_2\)), где первый член равен 3, а третий член равен 27, мы можем использовать формулу вычисления членов геометрической прогрессии.

Имеем следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
a_1 = 3 \\
a_3 = 27 \\
\end{cases}
\]

Подставив значения в формулу, получаем:

\(a_3 = a_1 \cdot q^{3-1}\)
\(27 = 3 \cdot q^2\)

Решим это уравнение для нахождения значения знаменателя \(q\):

\(q^2 = \frac{27}{3} = 9\)
\(q = \sqrt{9} = \pm 3\)

Теперь, подставляем найденное значение знаменателя в первое уравнение, чтобы найти значение второго члена:

\(a_2 = a_1 \cdot q^{2-1}\)
\(a_2 = 3 \cdot 3^{2-1} = 3 \cdot 3^1 = 3 \cdot 3 = 9\)

Ответ: значение второго члена геометрической прогрессии равно 9.

4) Для нахождения шестого члена геометрической прогрессии (\(a_6\)), где первый член равен 5 и знаменатель равен -1, мы можем использовать формулу вычисления членов геометрической прогрессии:

\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)

Подставляем значения в формулу:

\(a_6 = 5 \cdot (-1)^{6-1}\)
\(a_6 = 5 \cdot (-1)^5\)
\(a_6 = 5 \cdot (-1)\)
\(a_6 = -5\)

Ответ: шестой член геометрической прогрессии равен -5.

5) Для нахождения значения знаменателя геометрической прогрессии (\(q\)), где первый член равен 12 и четвертый член равен \(a_4\), мы можем использовать формулу вычисления членов геометрической прогрессии:

\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)

Имеем следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
a_1 = 12 \\
a_4 = -8 \\
\end{cases}
\]

Подставляем значения в формулу:

\(a_4 = a_1 \cdot q^{4-1}\)
\(-8 = 12 \cdot q^3\)

Решим это уравнение для нахождения значения знаменателя \(q\):

\(q^3 = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}\)
\(q = \sqrt[3]{-\frac{2}{3}}\)

Ответ: значение знаменателя геометрической прогрессии равно \(\sqrt[3]{-\frac{2}{3}}\).