1. Какое отношение радиусов кривизны траекторий двух электронов будет в однородном магнитном поле, если эти электроны

Снежок

40

Конечно! Для максимальной ясности объяснения, разделим задачу на две части.

Задача 1: Отношение радиусов кривизны траекторий двух электронов в магнитном поле при ускоряющемся движении в электрическом поле.

Для начала, рассмотрим действующие на электроны силы. В электрическом поле, электроны ускоряются, поэтому на них действует сила электрического поля \(F_{\text{э}}\), которую мы можем выразить через разность потенциалов \(u\):

\[F_{\text{э}} = eE\]

где \(e\) - заряд электрона, \(E\) - интенсивность электрического поля.

В магнитном поле, на электроны действует сила Лоренца \(F_{\text{л}}\), направленная перпендикулярно скорости движения \(v\) электрона и перпендикулярно линиям индукции магнитного поля \(B\):

\[F_{\text{л}} = e(v \times B)\]

где \(e\) - заряд электрона, \(v\) - скорость электрона, \(B\) - индукция магнитного поля.

При движении электрона по спиральной траектории, радиус кривизны \(R\) его траектории можно найти, соотнося силы электрического поля и силы Лоренца:

\[eE = m \frac{v^2}{R}\]

где \(m\) - масса электрона.

Также, в данной задаче указано, что "линии индукции магнитного поля перпендикулярны скорости движения электронов". Это означает, что сила Лоренца и сила электрического поля должны быть равны и направлены в одну сторону, так как \(v \times B\) будет перпендикулярно \(v\). Поэтому:

\[eE = e(v \times B) \Rightarrow E = vB\]

Теперь мы можем выразить скорость электрона через разность потенциалов \(u\) и индукцию магнитного поля \(B\):

\[u = Ed\]

где \(d\) - расстояние, которое прошел электрон в электрическом поле.

Подставляя \(E = vB\) в это выражение, получаем:

\[u = vBd \Rightarrow v = \frac{u}{Bd}\]

Теперь, мы можем подставить это выражение для скорости электрона в уравнение радиуса кривизны:

\[eE = m \frac{v^2}{R} \Rightarrow e(vB) = m \frac{(\frac{u}{Bd})^2}{R} \Rightarrow eBv = m \frac{u^2}{B^2d^2 R}\]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[R = \frac{mu^2}{eB^2d^2}\]

Отсюда можно сделать вывод, что отношение радиусов кривизны траекторий двух электронов в однородном магнитном поле будет обратно пропорционально квадрату индукции магнитного поля и квадрату расстояния, которое прошли электроны в электрическом поле.

Задача 2: Минимальное время для того, чтобы электрон снова оказался в указанной точке при движении в однородном магнитном поле.

Для нахождения минимального времени потребуется, чтобы электрон снова оказался в указанной точке, нужно найти период обращения \(T\) движения электрона.

Период обращения \(T\) по определению равен времени, за которое электрон проходит один полный оборот по окружности. Мы можем найти его, используя формулу для периода обращения заряда в однородном магнитном поле:

\[T = \frac{2\pi m}{|e|B}\]

где \(m\) - масса электрона, \(e\) - заряд электрона, \(B\) - индукция магнитного поля.

Теперь, чтобы определить минимальное время, нам нужно знать количество полных оборотов, которое совершает электрон за это время. Мы можем рассчитать количество оборотов \(n\) с использованием известной формулы длины окружности \(C\) с радиусом \(R\) и скоростью электрона \(v\):

\[C = 2\pi R\]
\[v = \frac{C}{T}\]

Подставляя значение \(T\) в это уравнение и решая его относительно \(C\), получим:

\[C = \frac{2\pi Rv}{2\pi m / |e|B} = \frac{Rv|e|B}{m}\]

Теперь мы можем рассчитать \(n\), деля длину окружности \(C\) на длину каждого оборота \(2\pi R\):

\[n = \frac{C}{2\pi R} = \frac{\frac{Rv|e|B}{m}}{2\pi R} = \frac{v|e|B}{2\pi m}\]

Таким образом, минимальное время \(t\) можно найти, умножив период обращения \(T\) на количество оборотов \(n\):

\[t = Tn = \frac{2\pi m}{|e|B} \cdot \frac{v|e|B}{2\pi m} = \frac{mv}{|e|}\]

Подставляя значения массы электрона \(m\), заряда электрона \(e\) и индукции магнитного поля \(B\), получим конечное выражение для минимального времени \(t\).

Я надеюсь, что это подробное решение помогло вам понять данную задачу. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!