1. Какое расстояние от плоскости (yoz) до точки в(-3; 2; -4)? 2. Какое расстояние от начала координат до точки в(3

Sladkiy_Poni

6

Хорошо, давайте решим поставленные задачи по очереди:

1. Чтобы найти расстояние от плоскости (yoz) до точки В(-3; 2; -4), мы будем искать расстояние от точки до плоскости вдоль прямой, перпендикулярной плоскости. Поскольку (yoz) - это плоскость, параллельная плоскостям xoy и xoz, мы можем определить точку P(0; y; z) на (yoz), где y и z - координаты, совпадающие с координатами точки В(0; 2; -4), кроме координаты x. Найдя координаты точки P, мы сможем вычислить расстояние между точкой В и плоскостью.

Поскольку (yoz) параллельна плоскости xoy, то y-координата точки В остаётся неизменной, равной 2. Аналогично, поскольку (yoz) параллельна плоскости xoz, z-координата точки В также остаётся неизменной, равной -4. Итак, мы имеем точку P(0; 2; -4) на (yoz).

Теперь нам нужно найти расстояние между точкой В и плоскостью (yoz). Для этого мы можем использовать формулу расстояния между точкой и плоскостью: d = \(\frac{{|Ax + By + Cz + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\), где A, B, C и D - коэффициенты плоскости, а x, y и z - координаты точки В.

В нашем случае A = 1, B = 0, C = 0 (поскольку плоскость параллельна оси y), D = 0 (так как плоскость проходит через начало координат), x = -3, y = 2 и z = -4. Подставив эти значения в формулу расстояния, мы получаем:

d = \(\frac{{|1*(-3) + 0*2 + 0*(-4) + 0|}}{{\sqrt{{1^2 + 0^2 + 0^2}}}}\)

d = \(\frac{{|-3|}}{{1}}\) = 3.

Итак, расстояние от плоскости (yoz) до точки В(-3; 2; -4) равно 3.

2. Чтобы найти расстояние от начала координат до точки В(3; 0; -4), мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками: d = \(\sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\), где (x1, y1, z1) - координаты начала координат (0, 0, 0), (x2, y2, z2) - координаты точки В(3, 0, -4).

Подставив значения в формулу расстояния, получаем:

d = \(\sqrt{{(3 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (-4 - 0)^2}}\) = \(\sqrt{{9 + 0 + 16}}\) = \(\sqrt{{25}}\) = 5.

Итак, расстояние от начала координат до точки В(3; 0; -4) равно 5.

3. Чтобы найти координаты середины отрезка, мы будем находить среднее значение координат каждой оси от двух конечных точек.

Пусть точка A имеет координаты (-3; 2; -4), а точка В - (1; -4; 2). Чтобы найти координаты середины отрезка между этими точками, мы берём среднее значение координат каждой оси от соответствующих координат точек А и В.

X-координата середины: \(\frac{{x_a + x_b}}{2} = \frac{{-3 + 1}}{2} = \frac{{-2}}{2} = -1\).

Y-координата середины: \(\frac{{y_a + y_b}}{2} = \frac{{2 + (-4)}}{2} = \frac{{-2}}{2} = -1\).

Z-координата середины: \(\frac{{z_a + z_b}}{2} = \frac{{-4 + 2}}{2} = \frac{{-2}}{2} = -1\).

Итак, координаты середины отрезка между точками А(-3; 2; -4) и В(1; -4; 2) равны (-1; -1; -1).

4. Чтобы найти длину вектора, мы используем формулу длины вектора: \|a\| = \(\sqrt{{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}}\), где a1, a2 и a3 - координаты вектора.

В нашем случае координаты вектора a равны (-3; 2; -4). Подставим значения в формулу:

\|a\| = \(\sqrt{{(-3)^2 + 2^2 + (-4)^2}}\) = \(\sqrt{{9 + 4 + 16}}\) = \(\sqrt{{29}}\).

Итак, длина вектора с координатами (-3; 2; -4) равна \(\sqrt{{29}}\).