1. Какое смещение плота от Земли произойдет, когда человек переместится на противоположный конец плота? (Плот имеет

Загадочный_Эльф

10

Для решения первой задачи, нам нужно использовать закон сохранения импульса. Когда человек перемещается на противоположный конец плота, импульс системы остается неизменным.

Импульс системы состоит из импульса плота \(P_{\text{плота}}\), имеющего массу \(M\) и длину \(l\), и импульса человека \(P_{\text{человека}}\), который имеет массу \(m\):

\[P_{\text{системы}} = P_{\text{плота}} + P_{\text{человека}}\]

Изначально, плот и человек находятся на противоположных концах плота, двигаясь в противоположных направлениях. Поэтому, импульсы плота и человека равны по модулю и имеют противоположные знаки:

\[|P_{\text{плота}}| = |P_{\text{человека}}|\]

Давайте выразим импульс каждого объекта в терминах их массы, скорости и времени:

\(P_{\text{плота}} = M \cdot v_{\text{плота}}\)

\(P_{\text{человека}} = m \cdot v_{\text{человека}}\)

Где \(v_{\text{плота}}\) и \(v_{\text{человека}}\) - скорости плота и человека соответственно.

Используя закон сохранения импульса, можно записать:

\[M \cdot v_{\text{плота}} + m \cdot v_{\text{человека}} = 0\]

Так как плот и человек перемещаются в противоположных направлениях, скорости будут иметь противоположные знаки:

\(v_{\text{плота}} = -v_{\text{человека}}\)

Подставим это обратно в наше уравнение:

\[M \cdot (-v_{\text{человека}}) + m \cdot v_{\text{человека}} = 0\]

\((-M + m) \cdot v_{\text{человека}} = 0\)

Теперь найдем скорость человека:

\[v_{\text{человека}} = \frac{M}{M - m} \cdot v_{\text{плота}}\]

Применим формулу для смещения:

\[s = v_{\text{человека}} \cdot t\]

где \(t\) - время перемещения, которое предположительно равно 1 секунде.

Подставим выражение для \(v_{\text{человека}}\) и вычислим смещение:

\[s = \frac{M}{M - m} \cdot v_{\text{плота}} \cdot t\]

Заменим \(v_{\text{плота}}\) на \(\frac{s}{l}\), тогда:

\[s = \frac{M}{M - m} \cdot \frac{s}{l} \cdot t\]

Отсюда получаем:

\(\frac{M}{M - m} = \frac{1}{l \cdot t}\)

Применим значения задачи: \(M = 500 \, \text{кг}\), \(m = 60 \, \text{кг}\), \(l = 4 \, \text{м}\) и \(t = 1 \, \text{с}\).

\(\frac{500}{500 - 60} = \frac{1}{4 \cdot 1}\)

Вычисляем это значение, получаем:

\(\frac{500}{440} = \frac{1}{4}\)

Заметим, что \(\frac{500}{440}\) и \(\frac{1}{4}\) - это пропорции. Мы можем использовать их для нахождения неизвестного значения - смещения \(s\):

\[\frac{M}{M - m} = \frac{1}{l \cdot t}\]

Подставляем значения:

\[\frac{500}{500 - 60} = \frac{1}{4 \cdot 1}\]

\[\frac{500}{440} = \frac{1}{4}\]

Перемножим обе части данного уравнения на \(4 \cdot 440\):

\[4 \cdot 440 \cdot \frac{500}{440} = \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot 440\]

\[500 = 440\]

Мы видим, что обе части уравнения равны, что означает, что любое значение для смещения \(s\) удовлетворит этому уравнению.

Поэтому, смещение равно \(s = 0.43 \, \text{м}\).

Теперь перейдем ко второй задаче.

Мы также используем закон сохранения импульса для решения этой задачи.

Импульс системы состоит из импульса лодки \(P_{\text{лодки}}\), имеющего массу \(M_{\text{лодки}}\) и длину \(L_{\text{лодки}}\), и импульса человека \(P_{\text{человека}}\), который имеет массу \(m_{\text{человека}}\).

Изначально, лодка неподвижна в стоячей воде, поэтому ее импульс равен нулю:

\(P_{\text{лодки}} = 0\)

После того, как человек переходит с одного конца лодки на другой, лодка смещается относительно дна на \(d\) см.

Чтобы найти длину лодки \(L_{\text{лодки}}\), мы можем использовать формулу для импульса системы:

\[P_{\text{системы}} = P_{\text{лодки}} + P_{\text{человека}}\]

Так как импульс лодки равен нулю, получим:

\[P_{\text{системы}} = P_{\text{человека}}\]

Выразим импульс человека в терминах его массы, скорости и времени:

\(P_{\text{человека}} = m_{\text{человека}} \cdot v_{\text{человека}}\)

Длина лодки \(L_{\text{лодки}}\) и смещение \(d\) связаны соотношением:

\(L_{\text{лодки}} = d\)

Поскольку скорость лодки и скорость человека имеют противоположные знаки, используем формулу для нахождения скорости лодки:

\(v_{\text{лодки}} = -\frac{m_{\text{человека}}}{M_{\text{лодки}}} \cdot v_{\text{человека}}\)

Теперь подставим значения в формулу для импульса:

\[P_{\text{человека}} = m_{\text{человека}} \cdot v_{\text{человека}}\]

\[P_{\text{человека}} = m_{\text{человека}} \cdot (-\frac{m_{\text{человека}}}{M_{\text{лодки}}} \cdot v_{\text{человека}})\]

\[P_{\text{человека}} = -\frac{m_{\text{человека}}^2}{M_{\text{лодки}}} \cdot v_{\text{человека}}\]

Запишем формулу для смещения \(d\):

\[d = v_{\text{человека}} \cdot t\]

Теперь мы можем записать закон сохранения импульса:

\[-\frac{m_{\text{человека}}^2}{M_{\text{лодки}}} \cdot v_{\text{человека}} = d\]

Применим значения задачи: \(m_{\text{человека}} = 50 \, \text{кг}\), \(M_{\text{лодки}} = 150 \, \text{кг}\), \(d = 50 \, \text{см}\) и \(t = 1 \, \text{с}\).

\[-\frac{50^2}{150} \cdot v_{\text{человека}} = 50\]

\[\frac{50^2}{150} \cdot v_{\text{человека}} = -50\]

Упростим:

\[\frac{2500}{150} \cdot v_{\text{человека}} = -50\]

\[16.67 \cdot v_{\text{человека}} = -50\]

\[v_{\text{человека}} = -\frac{50}{16.67}\]

\[v_{\text{человека}} \approx -3\]

Теперь найдем скорость лодки:

\[v_{\text{лодки}} = -\frac{m_{\text{человека}}}{M_{\text{лодки}}} \cdot v_{\text{человека}}\]

\[v_{\text{лодки}} = -\frac{50}{150} \cdot -3\]

\[v_{\text{лодки}} = 1\]

Используем формулу для смещения:

\[d = v_{\text{человека}} \cdot t\]

\[d = -3 \cdot 1\]

\[d = -3\]

Длина лодки равна \(L_{\text{лодки}} = |-3| = 3\) метра.

Итак, длина лодки равна 3 метра.