1) Какое уравнение описывает траекторию материальной точки, если радиус-вектор ее изменяется со временем по закону

Скат

29

Конечно, я могу помочь с этими задачами. Давайте по порядку решим каждую из них.

1) Чтобы найти уравнение траектории материальной точки, мы можем использовать известный закон изменения радиус-вектора. По условию, радиус-вектор изменяется со временем по закону, включающем i и j - орты осей X и Y.

Закон изменения радиуса-вектора имеет вид:
\[\vec{r}(t) = \vec{A}t^2 + \vec{B}t + \vec{C}\]

Где \(\vec{r}(t)\) - радиус-вектор в момент времени t,
\(\vec{A}\), \(\vec{B}\) и \(\vec{C}\) - векторы, необходимые для описания траектории.

2) Теперь давайте вычислим проекции скорости материальной точки на оси координат. Для этого мы должны найти производные радиус-вектора по времени.

Проекция скорости на ось X обозначается \(v_x\) и вычисляется как производная радиус-вектора по времени по оси X:
\[v_x = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \cdot \vec{i} = 2\vec{A}t + \vec{B}\]

Аналогично, проекция скорости на ось Y обозначается \(v_y\) и вычисляется как производная радиус-вектора по времени по оси Y:
\[v_y = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \cdot \vec{j} = \vec{A}\]

3) Наконец, рассмотрим зависимости от времени для векторов скорости и ускорения, а также для модулей этих величин в момент времени \(t_1\). Для этого мы должны взять производные проекций скорости по времени.

Вектор скорости \(\vec{v}(t)\) вычисляется как производная радиус-вектора по времени:
\[\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = 2\vec{A}t + \vec{B}\]

Модуль скорости \(v(t)\) определяется как длина вектора скорости:
\[v(t) = |\vec{v}(t)| = \sqrt{(2At + B)^2 + A^2}\]

Вектор ускорения \(\vec{a}(t)\) вычисляется как производная вектора скорости по времени:
\[\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = 2\vec{A}\]

Модуль ускорения \(a(t)\) определяется как длина вектора ускорения:
\[a(t) = |\vec{a}(t)| = 2|\vec{A}|\]

Теперь мы можем рассчитать эти величины в момент времени \(t_1 = 0.1\) секунды, подставив \(t_1\) в соответствующие формулы.

Кратко:

1) Уравнение траектории:
\[\vec{r}(t) = \vec{A}t^2 + \vec{B}t + \vec{C}\]

2) Проекции скорости:
\(v_x = 2\vec{A}t + \vec{B}\)
\(v_y = \vec{A}\)

3) Зависимости от времени:
\(\vec{v}(t) = 2\vec{A}t + \vec{B}\)
\(v(t) = \sqrt{(2At + B)^2 + A^2}\)
\(\vec{a}(t) = 2\vec{A}\)
\(a(t) = 2|\vec{A}|\)

Подставьте значения \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) и \(t_1\) в эти формулы, чтобы получить конкретный ответ.