1. Какое значение имеет резонансная частота и какие максимальные значения напряжения возникают на компьютере и катушке

Letayuschiy_Kosmonavt

43

1. Для начала, давайте разберемся с понятием резонансной частоты. Резонансная частота в электрической цепи - это такая частота переменного напряжения, при которой реактивные элементы цепи (катушка и конденсатор) создают общую реактивность, равную нулю. При этой частоте, импеданс (сопротивление переменному току) цепи будет иметь минимальное значение.

Для решения задачи, найдем резонансную частоту (пронумеруем формулы по мере использования):
\[ \text{Резонансная частота} \, f_r = \frac{1}{{2\pi \sqrt{LC}}} \]

Найдем максимальное значение напряжения на компьютере и катушке при резонансной частоте. На резонансной частоте, индуктивность катушки и емкость конденсатора в противофазе, что приводит к возникновению резонансного условия (пронумеруем формулы по мере использования):
\[ Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{{\omega C}}\right)^2} \]

Где \( \omega = 2\pi f \) - угловая частота, \( R \) - сопротивление реостата, \( L \) - индуктивность катушки, \( C \) - емкость конденсатора.

Максимальное значение напряжения можно найти с использованием формулы:
\[ U_{\text{макс}} = I \cdot Z \]

Где \( I \) - ток в цепи, который можно вычислить, используя закон Ома:
\[ I = \frac{U}{Z} \]

Итак, подставим данные в формулы:

\[ f_r = \frac{1}{{2\pi \sqrt{LC}}} = \frac{1}{{2\pi \sqrt{(5 \times 10^{-3}) \times (0.05 \times 10^{-6})}}} \approx 3183 \, \text{Гц} \]

\[ Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{{\omega C}}\right)^2} = \sqrt{(100)^2 + \left(2\pi \times 3183 \times 5 \times 10^{-3} - \frac{1}{{2\pi \times 3183 \times 0.05 \times 10^{-6}}}\right)^2} \approx 100 \, \text{Ом} \]

\[ I = \frac{U}{Z} = \frac{10}{100} = 0.1 \, \text{А} \]

\[ U_{\text{макс}} = I \cdot Z = 0.1 \times 100 = 10 \, \text{В} \]

Таким образом, при резонансной частоте 3183 Гц на компьютере и катушке будет возникать максимальное напряжение 10 В.

2. Теперь рассмотрим вторую задачу. Нам необходимо определить, какую емкость должен иметь конденсатор при последовательном включении катушки и активного сопротивления в сеть с известными значениями переменного напряжения, частоты и индуктивности.

При последовательном подключении элементов, импеданс будет равен:
\[ Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2} \]

Используя закон Ома, можно выразить ток в цепи через импеданс:
\[ I = \frac{U}{Z} \]

Используя формулу для реактивного сопротивления индуктивности:
\[ X_L = \omega L \]

Мы можем переписать формулу для импеданса следующим образом:
\[ Z = \sqrt{R^2 + (X_L - \frac{1}{\omega C})^2} \]

Подставим известные значения в формулы:

\[ Z = \sqrt{(2)^2 + (2\pi \times 50 \times 75 \times 10^{-3} - \frac{1}{2\pi \times 50 \times C})^2} \approx 2.325 \, \text{Ом} \]

\[ U = I \times Z = I \times 2.325 \]

Мы знаем, что \( U = 50 \) В и \( V = 50 \) Гц, поэтому:

\[ I \times 2.325 = 50 \]

\[ I = \frac{50}{2.325} \]

Теперь мы можем выразить емкость конденсатора:

\[ 2\pi \times 50 \times C = \frac{1}{X_L} \]

\[ 2\pi \times 50 \times C = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 75 \times 10^{-3}} \]

\[ C = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 50 \times 75 \times 10^{-3}} \approx 56 \, \text{мкФ} \]

Таким образом, чтобы достичь заданную конфигурацию, конденсатор должен иметь емкость около 56 мкФ.