1) Каков диаметр тени от непрозрачного диска, освещенного точечным источником света радиусом 127 мм? Расстояние

Arbuz

19

1) Для решения данной задачи мы можем использовать принцип подобия треугольников. Пусть \(r\) - радиус диска, а \(D\) - диаметр тени.

Из условия задачи мы знаем, что расстояние от источника до диска составляет 4,2 раза меньше, чем расстояние от диска до экрана. Пусть расстояние от источника до диска равно \(x\) мм. Тогда расстояние от диска до экрана равно \(4.2x\) мм.

Так как источник света является точечным, лучи света параллельны между собой, пока не достигнут диска. Поэтому треугольники, образованные диском, его тенью и лучами света, подобны.

Мы можем записать следующее соотношение, используя пропорцию подобия треугольников:

\(\frac{r}{D} = \frac{x}{4.2x}\)

Упростим выражение:

\(\frac{r}{D} = \frac{1}{4.2}\)

Теперь мы можем найти диаметр тени \(D\) с помощью данного соотношения. Умножим обе стороны уравнения на \(D\):

\(r = \frac{1}{4.2}D\)

Известно, что радиус диска \(r\) равен 127 мм, подставим это значение в уравнение:

\(127 = \frac{1}{4.2}D\)

Теперь решим это уравнение относительно \(D\):

\(D = 127 \cdot 4.2\)

\(D \approx 533.4\) мм

Таким образом, диаметр тени от диска равен около 533.4 мм.

Теперь рассмотрим вторую часть задачи. Мы должны найти, во сколько раз площадь тени больше площади диска.

Площадь тени пропорциональна квадрату линейного масштабного коэффициента между тенью и диском.

Мы можем найти этот коэффициент, поделив площадь тени на площадь диска:

\(\frac{S_{\text{тени}}}{S_{\text{диска}}} = \left(\frac{D}{2r}\right)^2\)

Подставим известные значения:

\(\frac{S_{\text{тени}}}{S_{\text{диска}}} = \left(\frac{533.4}{2 \cdot 127}\right)^2\)

\(\frac{S_{\text{тени}}}{S_{\text{диска}}} \approx 8.45\)

То есть, площадь тени в приближении в 8.45 раза больше площади диска.

2) Для решения этой задачи мы можем использовать закон Снеллиуса, связывающий показатели преломления двух сред и угол падения и преломления света.

По условию, скорость распространения света в солёной воде меньше в 1,49 раза, чем в вакууме. Скорость света в вакууме обозначим как \(c\).

Скорость света в солёной воде будет равна \(c/1.49\). Пусть глубина залива равна \(h\).

Используя формулу \(v = \frac{c}{n}\), где \(v\) - скорость света в среде, \(c\) - скорость света в вакууме, \(n\) - показатель преломления среды, мы можем записать следующее уравнение:

\(\frac{c}{1.49} = \frac{c}{n}\)

Отсюда можем найти показатель преломления солёной воды \(n\):

\(n = 1.49\)

Теперь мы можем использовать закон Снеллиуса, связывающий угол падения (\(\theta_1\)) и угол преломления (\(\theta_2\)) света при переходе из воздуха в среду:

\(\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{c}{cn}\)

Учитывая, что угол падения равен углу преломления (\(\theta_1 = \theta_2\)) для вертикально входящего луча, можем записать уравнение:

\(\frac{\sin(\theta)}{\sin(\theta)} = \frac{c}{cn}\)

Упростим выражение:

\(\frac{\sin(\theta)}{\sin(\theta)} = \frac{1}{n}\)

Отсюда получаем:

\(\sin(\theta) = \frac{1}{n}\)

Теперь мы можем найти угол преломления \(\theta\):

\(\theta = \arcsin\left(\frac{1}{n}\right)\)

Подставим значение показателя преломления солёной воды \(n = 1.49\):

\(\theta = \arcsin\left(\frac{1}{1.49}\right)\)

\(\theta \approx 41.8^\circ\)

Так как луч света падает, отражается и возвращается обратно, он проходит в глубину дважды. Поэтому общий путь, пройденный лучом, равен \(2h\).

Теперь мы знаем, что угол падения \(\theta\) равен \(41.8^\circ\) и общий путь \(2h\), и мы хотим найти глубину залива \(h\).

Мы можем использовать тригонометрическое соотношение \(\sin(\theta) = \frac{h}{2h}\):

\(\sin(41.8^\circ) = \frac{h}{2h}\)

\(\frac{1}{n} = \frac{1}{2}\)

Отсюда можем найти \(h\):

\(h = 2 \cdot \frac{1}{n}\)

Подставим значение \(n = 1.49\):

\(h = 2 \cdot \frac{1}{1.49}\)

\(h \approx 1.34\) м

Таким образом, глубина залива равна приблизительно 1.34 м.