1. Каков объем и площадь поверхности шара, если расстояние от точки А до центра шара равно 15, а до точки касания равно

Kseniya

42

Решение:

1. Для определения объема и площади поверхности шара, нам необходимо знание его радиуса. В данной задаче нам дано расстояние от точки А до центра шара (15) и до точки касания (5). Поскольку шар касается плоскости, треугольник, образованный точками А, центра шара и точкой касания, является прямоугольным.

Так как этот треугольник является прямоугольным, для нахождения его сторон нам поможет теорема Пифагора. Давайте обозначим радиус шара как \(r\), и рассмотрим следующую систему уравнений:

\[r^2 = 15^2 - 5^2 = 225 - 25 = 200\]
\[r = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\]

Теперь, когда у нас есть радиус шара, мы можем найти его объем и площадь поверхности.

Объем шара вычисляется по формуле:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Подставим значение радиуса \(r = 10\sqrt{2}\) в эту формулу:

\[V = \frac{4}{3}\pi (10\sqrt{2})^3\]

Упростим это выражение:

\[V = \frac{4}{3}\pi (10^3)(2\sqrt{2}) = \frac{4}{3}\pi (8)(100\sqrt{2}) = \frac{3200\pi\sqrt{2}}{3}\]

Таким образом, объем шара равен \(\frac{3200\pi\sqrt{2}}{3}\).

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

\[S = 4\pi r^2\]

Подставим значение радиуса \(r = 10\sqrt{2}\) в эту формулу:

\[S = 4\pi (10\sqrt{2})^2\]

Упростим это выражение:

\[S = 4\pi (10^2)(2) = 4\pi (100)(2) = 800\pi\]

Таким образом, площадь поверхности шара равна \(800\pi\).

2. В этой задаче нам дано, что перпендикулярное радиусу сечение шара делит его радиус в отношении 4:1. Это означает, что от центра шара до точки пересечения с сечением радиуса имеет длину \(r\), а от точки пересечения с сечением до точки, где сечение пересекает поверхность шара, имеет длину \(\frac{r}{4}\).

Обратите внимание, что площадь сечения равна 36п. Это означает, что площадь сечения, обозначенная как \(S_1\), равна \(\frac{36\pi}{р}\).

Теперь мы можем приступить к вычислению объема и площади поверхности шара.

Объем шара можно вычислить, зная радиус:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Подставим значение радиуса \(r\) в эту формулу:

\[V = \frac{4}{3}\pi (r)^3 = \frac{4}{3}\pi (r)^2 \cdot r\]

Мы знаем, что площадь сечения \(S_1\) равна \(\frac{36\pi}{р}\), а площадь поверхности шара \(S\) вычисляется по формуле:

\[S = 4\pi r^2\]

Тогда мы можем записать следующую систему уравнений:

\(\frac{36\pi}{р} = 4\pi r^2\)

\(\frac{36}{р} = 4r^2\)

\[36 = 4r^3\]
\[1 = \frac{r^3}{9}\]
\[r = \sqrt[3]{9}\]

Таким образом, объем шара равен:

\[V = \frac{4}{3}\pi (\sqrt[3]{9})^3\]
\[V = \frac{4}{3}\pi \cdot 9\]
\[V = 12\pi\]

Площадь поверхности шара равна:

\[S = 4\pi (\sqrt[3]{9})^2\]
\[S = 4\pi \cdot 3\]
\[S = 12\pi\]

Предположим теперь, что радиус разделен на части, и одна из них равна 2м, а радиус сечения равен 4м.

Мы знаем, что площадь сечения \(S_1\) равна \(\frac{36\pi}{р}\). Подставим значение \(р = 4\) в это выражение:

\[S_1 = \frac{36\pi}{4} = 9\pi\]

Объем шара вычисляется, зная радиус:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (4)^3 = \frac{256\pi}{3}\]

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

\[S = 4\pi r^2 = 4\pi (4)^2 = 64\pi\]

Таким образом, объем шара равен \(\frac{256\pi}{3}\), а площадь поверхности шара равна \(64\pi\).

3. Для нахождения объема и площади поверхности шара, когда вписанная фигура является правильным треугольником со стороной \(2\sqrt{3}\), или квадратом, нам сначала нужно найти радиус шара.

а) Если вписанная фигура - правильный треугольник, то сторона треугольника равна \(2\sqrt{3}\). В этом случае мы можем воспользоваться такими утверждениями:

- Радиус шара равен радиусу описанной окружности правильного треугольника.
- Радиус описанной окружности равен трети от высоты треугольника, опущенной из любой вершины.

Таким образом, радиус равен \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\).

Далее, используем формулы для нахождения объема и площади поверхности шара:

Объем шара:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]
\[V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^3\]
\[V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{8\sqrt{3}}{27}\]
\[V = \frac{32\pi\sqrt{3}}{81}\]

Площадь поверхности шара:

\[S = 4\pi r^2\]
\[S = 4\pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2\]
\[S = 4\pi \cdot \frac{12}{9}\]
\[S = \frac{16\pi}{3}\]

Таким образом, в случае, когда вписанная фигура - правильный треугольник со стороной \(2\sqrt{3}\), объем шара равен \(\frac{32\pi\sqrt{3}}{81}\), а площадь поверхности шара равна \(\frac{16\pi}{3}\).

б) Если вписанная фигура - квадрат, сторона которого равна \(s\), то радиус шара будет равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата \(d\) можно найти, зная сторону \(s\), по теореме Пифагора:

\[d = \sqrt{2}s\]

Тогда радиус \(r\) будет равен:

\[r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}s}{2} = \frac{s}{\sqrt{2}}\]

Используем формулы для нахождения объема и площади поверхности шара:

Объем шара:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]
\[V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)^3\]
\[V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{s^3}{2\sqrt{2}}\]
\[V = \frac{2\pi s^3}{3\sqrt{2}}\]

Площадь поверхности шара:

\[S = 4\pi r^2\]
\[S = 4\pi \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)^2\]
\[S = 4\pi \cdot \frac{s^2}{2}\]
\[S = 2\pi s^2\]

Таким образом, в случае, когда вписанная фигура - квадрат со стороной \(s\), объем шара равен \(\frac{2\pi s^3}{3\sqrt{2}}\), а площадь поверхности шара равна \(2\pi s^2\).