1) Каков объем шара, если его описывает конус, у которого образующая отклонена от плоскости основания под углом 60°?

  • 16
1) Каков объем шара, если его описывает конус, у которого образующая отклонена от плоскости основания под углом 60°?
2) Какое количество шариков диаметром 2см можно создать из куба с ребром 4см?
3) Если площадь поверхности полушара равна 18П см², то каков его объем?
4) При площади сечения шара, образованного плоскостью, равной 5П см² и расстоянии от центра шара до плоскости в 2см, каков объем шара?
5) После проведения плоскости внутри шара, перпендикулярной к диаметру и разделяющей его на части длиной 6см и 12см, каков объем меньшей части шара?
6) В правильной треугольной призме
Пётр
46
1) Чтобы найти объем шара, который описывает конус, у которого образующая отклонена от плоскости основания под углом 60°, нам понадобятся некоторые геометрические свойства и формулы.

Пусть R - радиус шара, а H - высота конуса. Также пусть α - угол между образующей конуса и плоскостью основания.

Для начала, найдем радиус основания конуса. Обратимся к свойствам прямоугольного треугольника, образуемого половиной плоскости основания и полуобразующей конуса. Мы знаем, что cos(α)=RrR, где r - радиус основания конуса. Так как у нас угол α равен 60°, подставим это значение и решим уравнение:

cos(60°)=RrR
12=RrR

Упростим уравнение, умножив обе части на 2:

1=2R2r
2r=2R1
r=R12

Теперь, с зная радиус основания конуса r и высоту конуса H, мы можем найти объем конуса, используя формулу:

Vконуса=13πr2H

Подставим значения, которые мы нашли:

Vконуса=13π(R12)2H
Vконуса=13π(R2R+14)H
Vконуса=13π(4R24R+14)H
Vконуса=112π(4R24R+1)H
Vконуса=112π(4R24R+1)H
Vконуса=112π(4(R2R)+1)H

Так как наш шар описывает этот конус, его объем будет равен объему конуса:

Vшара=112π(4(R2R)+1)H

Это и есть окончательный ответ.

2) Чтобы найти количество шариков диаметром 2см, которые можно создать из куба с ребром 4см, нам понадобятся некоторые математические расчеты.

Диаметр шара равен удвоенному радиусу. Так как диаметр шарика равен 2см, радиус будет равен 1см.

Объем шара можно найти с помощью формулы:

Vшара=43πr3

Подставим значения и рассчитаем объем:

Vшара=43π(1см)3
Vшара=43π(1см)3
Vшара=43π(1см)3
Vшара=43π1см3
Vшара=43π1см3
Vшара=43π1см3

Теперь, чтобы найти количество шариков, которые можно создать из куба, мы должны разделить объем куба на объем шарика:

количествошариков=VкубаVшара

Подставим значения:

количествошариков=(4см)343π(1см)3
количествошариков=64см343π1см3
количествошариков=64см343π1см3
количествошариков=64см343π1см3
количествошариков=64см343π1см3
количествошариков=64см343π1см3
количествошариков=64см343π1см3
количествошариков=64см343π1см3

Таким образом, мы можем создать количествошариков шариков диаметром 2см из куба с ребром 4см.

3) Чтобы найти объем полушара, зная площадь его поверхности, понадобится некоторая геометрическая информация.

Площадь поверхности полушара определяется по формуле:

Sпов.полушара=2πR2

где R - радиус полушара.

Дано, что Sпов.полушара=18πсм2, поэтому мы можем записать уравнение:

18πсм2=2πR2

Разделим обе части уравнения на 2π:

9см2=R2

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

3см=R

Теперь, когда у нас есть радиус полушара, мы можем найти его объем, используя формулу:

Vполушара=23πR3

Подставим значение радиуса:

Vполушара=23π(3см)3
Vполушара=23π(27см3)
Vполушара=23π(27см3)
Vполушара=543πсм3
Vполушара=18πсм3