1) Каков объем шара, если его описывает конус, у которого образующая отклонена от плоскости основания под углом 60°?

Пётр

46

1) Чтобы найти объем шара, который описывает конус, у которого образующая отклонена от плоскости основания под углом 60°, нам понадобятся некоторые геометрические свойства и формулы.

Пусть \(R\) - радиус шара, а \(H\) - высота конуса. Также пусть \(\alpha\) - угол между образующей конуса и плоскостью основания.

Для начала, найдем радиус основания конуса. Обратимся к свойствам прямоугольного треугольника, образуемого половиной плоскости основания и полуобразующей конуса. Мы знаем, что \(\cos(\alpha) = \frac{{R - r}}{{R}}\), где \(r\) - радиус основания конуса. Так как у нас угол \(\alpha\) равен 60°, подставим это значение и решим уравнение:

\[\cos(60°) = \frac{{R - r}}{{R}}\]
\[\frac{1}{2} = \frac{{R - r}}{{R}}\]

Упростим уравнение, умножив обе части на 2:

\[1 = 2R - 2r\]
\[2r = 2R - 1\]
\[r = R - \frac{1}{2}\]

Теперь, с зная радиус основания конуса \(r\) и высоту конуса \(H\), мы можем найти объем конуса, используя формулу:

\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 H\]

Подставим значения, которые мы нашли:

\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \left(R - \frac{1}{2}\right)^2 H\]
\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \left(R^2 - R + \frac{1}{4}\right) H\]
\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{4R^2 - 4R + 1}{4}\right) H\]
\[V_{конуса} = \frac{1}{12} \pi \left(4R^2 - 4R + 1\right) H\]
\[V_{конуса} = \frac{1}{12} \pi (4R^2 - 4R + 1) H\]
\[V_{конуса} = \frac{1}{12} \pi \left(4(R^2 - R) + 1\right) H\]

Так как наш шар описывает этот конус, его объем будет равен объему конуса:

\[V_{шара} = \frac{1}{12} \pi \left(4(R^2 - R) + 1\right) H\]

Это и есть окончательный ответ.

2) Чтобы найти количество шариков диаметром 2см, которые можно создать из куба с ребром 4см, нам понадобятся некоторые математические расчеты.

Диаметр шара равен удвоенному радиусу. Так как диаметр шарика равен 2см, радиус будет равен 1см.

Объем шара можно найти с помощью формулы:

\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Подставим значения и рассчитаем объем:

\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi (1см)^3\]
\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi (1см)^3\]
\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi (1см)^3\]
\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi 1см^3\]
\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi 1см^3\]
\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi 1см^3\]

Теперь, чтобы найти количество шариков, которые можно создать из куба, мы должны разделить объем куба на объем шарика:

\[количество шариков = \frac{V_{куба}}{V_{шара}}\]

Подставим значения:

\[количество шариков = \frac{(4см)^3}{\frac{4}{3} \pi (1см)^3}\]
\[количество шариков = \frac{64см^3}{\frac{4}{3} \pi 1см^3}\]
\[количество шариков = \frac{64см^3}{\frac{4}{3} \pi 1см^3}\]
\[количество шариков = \frac{64см^3}{\frac{4}{3} \pi 1см^3}\]
\[количество шариков = \frac{64см^3}{\frac{4}{3} \pi 1см^3}\]
\[количество шариков = \frac{64см^3}{\frac{4}{3} \pi 1см^3}\]
\[количество шариков = \frac{64см^3}{\frac{4}{3} \pi 1см^3}\]
\[количество шариков = \frac{64см^3}{\frac{4}{3} \pi 1см^3}\]

Таким образом, мы можем создать \(количество шариков\) шариков диаметром 2см из куба с ребром 4см.

3) Чтобы найти объем полушара, зная площадь его поверхности, понадобится некоторая геометрическая информация.

Площадь поверхности полушара определяется по формуле:

\[S_{пов. полушара} = 2 \pi R^2\]

где \(R\) - радиус полушара.

Дано, что \(S_{пов. полушара} = 18\pi см^2\), поэтому мы можем записать уравнение:

\[18\pi см^2 = 2\pi R^2\]

Разделим обе части уравнения на \(2\pi\):

\[9см^2 = R^2\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[3см = R\]

Теперь, когда у нас есть радиус полушара, мы можем найти его объем, используя формулу:

\[V_{полушара} = \frac{2}{3} \pi R^3\]

Подставим значение радиуса:

\[V_{полушара} = \frac{2}{3} \pi (3см)^3\]
\[V_{полушара} = \frac{2}{3} \pi (27см^3)\]
\[V_{полушара} = \frac{2}{3} \pi (27см^3)\]
\[V_{полушара} = \frac{54}{3} \pi см^3\]
\[V_{полушара} = 18\pi см^3\]