1) Каков объем шара, если его описывает конус, у которого образующая отклонена от плоскости основания под углом 60°?

Пётр

46

1) Чтобы найти объем шара, который описывает конус, у которого образующая отклонена от плоскости основания под углом 60°, нам понадобятся некоторые геометрические свойства и формулы.

Пусть $R$ - радиус шара, а $H$ - высота конуса. Также пусть $\alpha$ - угол между образующей конуса и плоскостью основания.

Для начала, найдем радиус основания конуса. Обратимся к свойствам прямоугольного треугольника, образуемого половиной плоскости основания и полуобразующей конуса. Мы знаем, что $\cos (\alpha )=\frac{R-r}{R}$, где $r$ - радиус основания конуса. Так как у нас угол $\alpha$ равен 60°, подставим это значение и решим уравнение:

$$\cos (60°)=\frac{R-r}{R}$$
$$\frac{1}{2}=\frac{R-r}{R}$$

Упростим уравнение, умножив обе части на 2:

$$1=2R-2r$$
$$2r=2R-1$$
$$r=R-\frac{1}{2}$$

Теперь, с зная радиус основания конуса $r$ и высоту конуса $H$, мы можем найти объем конуса, используя формулу:

$$V_{конуса}=\frac{1}{3}\pi r^{2}H$$

Подставим значения, которые мы нашли:

$$V_{конуса}=\frac{1}{3}\pi {(R-\frac{1}{2})}^{2}H$$
$$V_{конуса}=\frac{1}{3}\pi (R^2-R+\frac{1}{4})H$$
$$V_{конуса}=\frac{1}{3}\pi \left(\frac{4R^2-4R+1}{4}\right)H$$
$$V_{конуса}=\frac{1}{12}\pi (4R^2-4R+1)H$$
$$V_{конуса}=\frac{1}{12}\pi (4R^2-4R+1)H$$
$$V_{конуса}=\frac{1}{12}\pi (4(R^2-R)+1)H$$

Так как наш шар описывает этот конус, его объем будет равен объему конуса:

$$V_{шара}=\frac{1}{12}\pi (4(R^2-R)+1)H$$

Это и есть окончательный ответ.

2) Чтобы найти количество шариков диаметром 2см, которые можно создать из куба с ребром 4см, нам понадобятся некоторые математические расчеты.

Диаметр шара равен удвоенному радиусу. Так как диаметр шарика равен 2см, радиус будет равен 1см.

Объем шара можно найти с помощью формулы:

$$V_{шара}=\frac{4}{3}\pi r^3$$

Подставим значения и рассчитаем объем:

$$V_{шара}=\frac{4}{3}\pi (1см{)}^3$$
$$V_{шара}=\frac{4}{3}\pi (1см{)}^3$$
$$V_{шара}=\frac{4}{3}\pi (1см{)}^3$$
$$V_{шара}=\frac{4}{3}\pi 1с{м}^3$$
$$V_{шара}=\frac{4}{3}\pi 1с{м}^3$$
$$V_{шара}=\frac{4}{3}\pi 1с{м}^3$$

Теперь, чтобы найти количество шариков, которые можно создать из куба, мы должны разделить объем куба на объем шарика:

$$количествошариков=\frac{V_{куба}}{V_{шара}}$$

Подставим значения:

$$количествошариков=\frac{(4см{)}^3}{\frac{4}{3}\pi (1см{)}^3}$$
$$количествошариков=\frac{64с{м}^3}{\frac{4}{3}\pi 1с{м}^3}$$
$$количествошариков=\frac{64с{м}^3}{\frac{4}{3}\pi 1с{м}^3}$$
$$количествошариков=\frac{64с{м}^3}{\frac{4}{3}\pi 1с{м}^3}$$
$$количествошариков=\frac{64с{м}^3}{\frac{4}{3}\pi 1с{м}^3}$$
$$количествошариков=\frac{64с{м}^3}{\frac{4}{3}\pi 1с{м}^3}$$
$$количествошариков=\frac{64с{м}^3}{\frac{4}{3}\pi 1с{м}^3}$$
$$количествошариков=\frac{64с{м}^3}{\frac{4}{3}\pi 1с{м}^3}$$

Таким образом, мы можем создать $количествошариков$ шариков диаметром 2см из куба с ребром 4см.

3) Чтобы найти объем полушара, зная площадь его поверхности, понадобится некоторая геометрическая информация.

Площадь поверхности полушара определяется по формуле:

$$S_{пов.полушара}=2\pi R^2$$

где $R$ - радиус полушара.

Дано, что $S_{пов.полушара}=18\pi с{м}^2$, поэтому мы можем записать уравнение:

$$18\pi с{м}^2=2\pi R^2$$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$$9с{м}^2=R^2$$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

$$3см=R$$

Теперь, когда у нас есть радиус полушара, мы можем найти его объем, используя формулу:

$$V_{полушара}=\frac{2}{3}\pi R^3$$

Подставим значение радиуса:

$$V_{полушара}=\frac{2}{3}\pi (3см{)}^3$$
$$V_{полушара}=\frac{2}{3}\pi (27с{м}^3)$$
$$V_{полушара}=\frac{2}{3}\pi (27с{м}^3)$$
$$V_{полушара}=\frac{54}{3}\pi с{м}^3$$
$$V_{полушара}=18\pi с{м}^3$$