для векторов а и b с координатами {1; 4; -3} и {m; -1; 2} соответственно, определите значения m, при которых угол между

Музыкальный_Эльф

35

Для начала рассмотрим нахождение значения \(m\), при котором угол между векторами \(a\) и \(b\) будет острым, прямым или тупым.

Для определения угла между двумя векторами мы можем использовать следующую формулу для скалярного произведения векторов:

\[
\cos\theta = \frac{{a \cdot b}}{{\|a\| \cdot \|b\|}}
\]

где \(a\) и \(b\) - векторы, \(\|\cdot\|\) - обозначает длину вектора, а \(\theta\) - угол между векторами.

Перед тем, как продолжить, давайте вычислим длины данных векторов:

\[
\|a\| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}
\]

\[
\|b\| = \sqrt{m^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{m^2 + 1 + 4} = \sqrt{m^2 + 5}
\]

Теперь мы можем рассмотреть каждый из вариантов угла между векторами.

a) Острый угол (\(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\))

Если угол между векторами \(a\) и \(b\) является острым, то косинус этого угла будет положительным (\(\cos\theta > 0\)). Для этого случая мы можем записать:

\[
\frac{{a \cdot b}}{{\|a\| \cdot \|b\|}} > 0
\]

Подставив значения векторов и их длин, получаем:

\[
\frac{{1 \cdot m + 4 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2}}{{\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5}}} > 0
\]

Продолжим вычисления:

\[
\frac{{m - 4 - 6}}{{\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5}}} > 0
\]

\[
\frac{{m - 10}}{{\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5}}} > 0
\]

Здесь нам придется рассмотреть два случая: когда знаменатель положителен (\(\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5} > 0\)) и когда знаменатель отрицателен (\(\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5} < 0\)).

1) Знаменатель положителен (\(\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5} > 0\)):

В этом случае уравнение можно умножить на знаменатель без изменения неравенства, получив:

\[
(m - 10) > 0
\]

Здесь мы продолжаем вычисления:

\[
m > 10
\]

2) Знаменатель отрицателен (\(\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5} < 0\)):

Поскольку у нас произведение двух корней, которые всегда положительны, не может быть отрицательным, то это условие невозможно. Следовательно, этот случай не дает нам значения \(m\), при котором угол был бы острым.

Итак, при \(m > 10\) угол между векторами \(a\) и \(b\) будет острым.

b) Прямой угол (\(\theta = \frac{\pi}{2}\))

Если угол между векторами равен прямому углу, то косинус этого угла будет равен нулю (\(\cos\theta = 0\)). Подставим это значение в наше уравнение:

\[
\frac{{a \cdot b}}{{\|a\| \cdot \|b\|}} = 0
\]

\[
\frac{{1 \cdot m + 4 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2}}{{\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5}}} = 0
\]

Продолжим вычисления:

\[
\frac{{m - 4 - 6}}{{\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5}}} = 0
\]

\[
\frac{{m - 10}}{{\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5}}} = 0
\]

Так как числитель равен нулю только при \(m = 10\), то прямой угол возможен только при \(m = 10\).

c) Тупой угол (\(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\))

Если угол между векторами является тупым, то косинус этого угла будет отрицательным (\(\cos\theta < 0\)). Запишем это в уравнении:

\[
\frac{{a \cdot b}}{{\|a\| \cdot \|b\|}} < 0
\]

\[
\frac{{1 \cdot m + 4 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2}}{{\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5}}} < 0
\]

Продолжим вычисления:

\[
\frac{{m - 4 - 6}}{{\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5}}} < 0
\]

\[
\frac{{m - 10}}{{\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5}}} < 0
\]

Здесь мы снова рассмотрим два случая: когда знаменатель положителен и когда знаменатель отрицателен.

1) Знаменатель положителен (\(\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5} > 0\)):

Делим неравенство на положительное число без изменения направления неравенства:

\[
\frac{{m - 10}}{{\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5}}} < 0
\]

Решая это неравенство, мы получаем:

\[
10 < m
\]

2) Знаменатель отрицателен (\(\sqrt{26} \cdot \sqrt{m^2 + 5} < 0\)):

Это условие невозможно, так как произведение двух корней не может быть отрицательным.

Таким образом, при \(m > 10\) и \(m \neq 10\) угол между векторами \(a\) и \(b\) будет тупым.

Теперь рассмотрим задачу о связи ребра куба и векторов:

Для начала нам нужно понять, как связаны вершина \(a\) и вершина \(a1\), а также вершина \(b\) и вершина \(b1\) в кубе.

Вектор \(\vec{aa1}\) будет иметь длину, равную длине ребра куба, то есть 1.

Теперь мы можем рассмотреть каждое из заданных скалярных произведений векторов:

а) \(bb1\) и \(ad\)

Скалярное произведение двух векторов можно найти, умножив соответствующие координаты их векторов и сложив полученные произведения:

\[
bb1 = (m) \cdot (m) + (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = m^2 + 1 + 4 = m^2 + 5
\]

\[
ad = (1) \cdot (1) + (4) \cdot (-4) + (-3) \cdot (-3) = 1 + (-16) + 9 = -6
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(bb1\) и \(ad\) равно \(m^2 + 5\) и \(-6\) соответственно.

б) \(ac\) и \(a1d1\)

\[
ac = (1) \cdot (m) + (4) \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 = m - 4 - 6 = m - 10
\]

\[
a1d1 = (1) \cdot (1) + (4) \cdot 4 + (-3) \cdot (-3) = 1 + 16 + 9 = 26
\]

Скалярное произведение векторов \(ac\) и \(a1d1\) равно \(m - 10\) и \(26\) соответственно.

в) \(ab1\)

\[
ab1 = (1) \cdot (m) + (4) \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 = m - 4 - 6 = m - 10
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(ab1\) равно \(m - 10\).

Окончательно, данные скалярные произведения равны:

а) \(bb1\) и \(ad\) - \(m^2 + 5\) и \(-6\)

б) \(ac\) и \(a1d1\) - \(m - 10\) и \(26\)

в) \(ab1\) - \(m - 10\)