1) Каков знаменатель прогрессии, если сумма первых 100 членов этой прогрессии в 5 раз больше суммы квадратов первых

Волшебный_Лепрекон

48

Задача 1:
Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - n-й член прогрессии.

По условию задачи, сумма первых 100 членов прогрессии в 5 раз больше суммы квадратов первых 50 членов:

\[S_{100} = 5 \cdot S_{50^2} \]

Подставим формулу суммы для обоих случаев:

\[\frac{100}{2} \cdot (a_1 + a_{100}) = 5 \cdot \frac{50^2}{2} \cdot (a_1^2 + a_{50^2}^2)\]

Упростим выражение:

\[100 \cdot (a_1 + a_{100}) = 5 \cdot 50^2 \cdot (a_1^2 + a_{50^2}^2)\]

Для удобства обозначим \(a_{100}\) как \(a_{50^2}\):

\[100 \cdot (a_1 + a_{50^2}) = 5 \cdot 50^2 \cdot (a_1^2 + a_{50^2}^2)\]

Теперь разделим обе части уравнения на 100:

\[a_1 + a_{50^2} = \frac{5 \cdot 50^2}{100} \cdot (a_1^2 + a_{50^2}^2)\]

Так как \(a_{50^2} = a_{50}^2\), заменим его:

\[a_1 + a_{50}^2 = \frac{5 \cdot 50^2}{100} \cdot (a_1^2 + a_{50}^4)\]

Теперь перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и упростим его:

\[a_1^2 - \frac{249}{2} \cdot a_1 + a_{50}^4 - \frac{5}{2} \cdot a_{50}^2 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы найти знаменатель прогрессии, нужно найти его корни. Подставим значения в изначальную задачу и решим квадратное уравнение.

Задача 2:
Нам дано, что пятый член прогрессии составляет \(\frac{3}{4}\), а знаменатель равен 2.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(a_n\) - n-й член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

Подставим известные значения:

\[a_5 = a_1 + 4d = \frac{3}{4}\]

Также известно, что знаменатель прогрессии равен 2:

\[d = 2\]

Подставим значение \(d\) в уравнение:

\[a_1 + 4 \cdot 2 = \frac{3}{4}\]

\[a_1 + 8 = \frac{3}{4}\]

Перенесем 8 на другую сторону уравнения:

\[a_1 = \frac{3}{4} - 8\]

\[a_1 = -\frac{29}{4}\]

Таким образом, первый член прогрессии равен \(-\frac{29}{4}\).

Задача 3:
Нам дано, что сумма первых четырех членов прогрессии с знаменателем \(q = 1.5\) составляет значение \(S\).

Сумма первых n членов геометрической прогрессии может быть выражена следующей формулой:

\[S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}\]

где \(S_n\) - сумма первых n членов геометрической прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии.

Подставим значения из условия:

\[S = a_1 \cdot \frac{1 - q^4}{1 - q}\]

Мы хотим найти первый член прогрессии \(a_1\). Оставим это в виде уравнения и решим его:

\[S \cdot (1 - q) = a_1 \cdot (1 - q^4)\]

Раскроем скобки:

\[S - S \cdot q = a_1 - a_1 \cdot q^4\]

\[S - S \cdot q = a_1 \cdot (1 - q^4)\]

Далее, поделим обе части уравнения на \(1 - q\):

\[S = a_1 \cdot (1 - q^4) \cdot \frac{1}{1 - q}\]

\[S = a_1 \cdot \frac{1 - q^4}{1 - q}\]

Таким образом, первый член прогрессии равен \(\frac{S}{1 - q} \cdot \frac{1}{1 - q^4}\).