Для функции у = х^2 – 2х, каков тип точки M (1;1)?

Светлячок

27

Для начала, давайте вычислим значение функции \( y \) в точке \( M(1;1) \). Для этого подставим \( x = 1 \) в уравнение функции:
\[ y = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1. \]

Таким образом, координаты точки \( M(1;1) \) дают нам значение функции \( y = -1 \) в этой точке.

Теперь рассмотрим тип этой точки. Для этого воспользуемся производной функции и её графиком.

Производная функции \( y = x^2 - 2x \) можно найти, взяв производную от каждого слагаемого по отдельности. Производная \( y" \) будет равна:
\[ y" = 2x - 2. \]

Теперь найдем значение производной в точке \( M(1;1) \). Подставив \( x = 1 \) в выражение для \( y" \), получим:
\[ y" = 2(1) - 2 = 0. \]

Значение производной в точке \( M(1;1) \) равно нулю.

Теперь вспомним свойства производной и графика функции:

- Если производная в точке равна нулю, то это может указывать на экстремум функции в этой точке. Есть два варианта: если производная меняет свой знак с «-» на «+», то это минимум, иначе — максимум.
- Если производная равна нулю, это также может указывать на точку перегиба функции, если производная меняет свой знак до и после этой точки.

В нашем случае, чтобы понять тип точки \( M(1;1) \), нам нужно проанализировать производную справа и слева от этой точки.

Рассмотрим значение функции слева от точки \( M(1;1) \). Если возьмем \( x = 0.5 \), мы получим:
\[ y = (0.5)^2 - 2(0.5) = 0.25 - 1 = -0.75. \]

Значение функции слева от точки \( M(1;1) \) равно \( -0.75 \). Теперь рассмотрим значение функции справа от этой точки. Если возьмем \( x = 1.5 \), мы получим:
\[ y = (1.5)^2 - 2(1.5) = 2.25 - 3 = -0.75. \]

Значение функции справа от точки \( M(1;1) \) также равно \( -0.75 \).

Таким образом, мы видим, что функция меняет свой знак со «+» на «-» при движении слева направо через точку \( M(1;1) \). Это признак максимума.

Итак, тип точки \( M(1;1) \) является максимумом функции \( y = x^2 - 2x \).