1. Какова длина MO, если MB и MC являются касательными к окружности O и ∠BMC = 120 градусов? 2. Чему равна длина

Яксоб

34

1. Для решения этой задачи, нам понадобятся свойства окружностей и треугольников. Давайте рассмотрим каждый шаг в решении.

a) Поскольку MB и MC являются касательными к окружности O, то мы можем использовать свойство, которое гласит: касательная, проведенная к окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

b) Также, у нас есть информация, что ∠BMC = 120 градусов. Поскольку угол при центре окружности равен удвоенному углу при дуге, мы можем сказать, что дуга BC равна 120/2 = 60 градусам.

c) Так как MO является радиусом окружности O, нам нужно найти длину дуги BC, чтобы определить длину окружности, а затем и радиус MO.

d) При помощи формулы, которая гласит, что длина дуги окружности равна произведению длины окружности на соотношение угла дуги к 360 градусам (\(l = \frac{{2\pi r \cdot \theta}}{360}\)), мы можем выразить длину дуги BC следующим образом: \(l = \frac{{2\pi r \cdot 60}}{360}\).

e) Раскрыв скобки и упростив, мы получим: \(l = \frac{{\pi r}}{3}\).

f) С учетом того, что длина дуги BC равна \(l = \frac{{\pi r}}{3}\), мы можем сказать, что длина MO, равная радиусу окружности O, будет равна трети от длины дуги BC: \(MO = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\pi r}}{3} = \frac{{\pi r}}{9}\).

Итак, ответ на первую задачу состоит в том, что длина MO равна \(\frac{{\pi r}}{{9}}\).

2. Чтобы найти длину отрезка BC, нам нужно найти радиус окружности O. Зная это, мы сможем легко вычислить длину отрезка BC.

Исходя из решения первой задачи, мы знаем, что длина MO равна \(\frac{{\pi r}}{{9}}\).

Теперь давайте вспомним свойства касательных к окружности: они равны по длине. Это означает, что MB = MC.

Следовательно, длина отрезка BC равна сумме длин отрезков MB и MC, что составляет: BC = MB + MC = MB + MB = 2MB.

Мы уже знаем, что длина MO равна \(\frac{{\pi r}}{{9}}\), а MB является радиусом окружности O, поэтому MB = r.

Подставляя значения, мы получаем: BC = 2MB = 2r = 2 \(\cdot \frac{{\pi r}}{{9}} = \frac{{2\pi r}}{{9}}\).

Таким образом, ответ на вторую задачу состоит в том, что длина отрезка BC равна \(\frac{{2\pi r}}{{9}}\), который записывается в виде корня как \(\sqrt{\frac{{4\pi^2 r^2}}{{81}}}\).