Є трікутник АВС зі стороною АВ = 6 см та кутом С = 30 градусів. Знайти периметр трикутника

Zvezdnaya_Noch

66

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой синусов, которая гласит:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, \(A\), \(B\), \(C\) - соответствующие противолежащие углы, \(R\) - радиус описанной окружности.

Мы знаем, что сторона \(AB\) равна 6 см, и угол \(C\) равен 30 градусам. Что бы найти периметр треугольника, нам нужно найти остальные стороны \(AC\) и \(BC\).

Для начала найдем угол \(A\):
\[A = 180 - C - B = 180 - 30 - 90 = 60^\circ\]

Далее воспользуемся теоремой синусов:
\[\frac{AC}{\sin(A)} = \frac{AB}{\sin(B)}\]

Подставляя известные значения, получаем:
\[\frac{AC}{\sin(60^\circ)} = \frac{6}{\sin(90^\circ)}\]

Так как \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin(90^\circ) = 1\), мы можем решить уравнение:

\[\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{1}\]

Упрощая, получаем:
\[AC = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = 3\sqrt{3}\]

Таким же образом, можно найти сторону \(BC\), используя ту же формулу:

\[\frac{BC}{\sin(B)} = \frac{AB}{\sin(A)}\]

Подставляя известные значения, получаем:
\[\frac{BC}{\sin(90^\circ)} = \frac{6}{\sin(60^\circ)}\]

Решая уравнение, получаем:
\[BC = \frac{6 \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(90^\circ)} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = 3\sqrt{3}\]

Теперь, чтобы найти периметр треугольника, мы складываем длины всех сторон:

\[P = AB + AC + BC = 6 + 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 6 + 6\sqrt{3} \approx 17.39\]

Периметр треугольника \(ABC\) примерно равен 17.39 см.