Найдите значение производной функции f(x) в точке x0, которая является абсциссой точки на графике функции y=f(x

Тигрёнок

8

Чтобы найти значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \), которая является абсциссой точки на графике функции \( y = f(x) \), где изображена касательная к этому графику, нам потребуется знать уравнение касательной и методы дифференцирования.

Для начала, уравнение касательной к графику функции в точке \( x_0 \) можно записать в виде \( y - f(x_0) = f"(x_0)(x - x_0) \), где \( f"(x_0) \) обозначает значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \).

Обратите внимание, что для нахождения производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \), нам потребуется использовать один из методов дифференцирования, такой как правило дифференцирования степенной функции, правило производной композиции функций или правило дифференцирования суммы или разности функций.

Давайте посмотрим на пример:

Пусть дана функция \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \).

Чтобы найти значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \), нам нужно:

1. Найти производную функции \( f(x) \) с помощью выбранного метода дифференцирования. В данном случае, применим правило дифференцирования суммы, разности и степенной функции:

\[ f"(x) = (2 \cdot 2x) - (3 \cdot 1) + 0 = 4x - 3 \]

2. Подставить \( x_0 \) в найденную производную функцию \( f"(x) \) и вычислить значение:

\[ f"(x_0) = 4 \cdot x_0 - 3 \]

3. Подставить найденное значение \( f"(x_0) \) и \( x_0 \) в уравнение касательной \( y - f(x_0) = f"(x_0)(x - x_0) \) и получить окончательное уравнение касательной в виде \( y = f"(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \).

Кроме того, чтобы дать более наглядное представление о нахождении производной и уравнении касательной, можно предложить решение задач через демонстрацию этапов на графике или использование значений конкретных чисел, чтобы лучше понять применение формул в конкретном случае.