1. Какова длина пересечения линии, образованной пересечением сферы радиуса 5 и центром в точке a(2; 4; 3), с плоскостью

Ser

7

Хорошо, вот подробные решения каждой задачи:

1. Для начала, найдем уравнение плоскости xy. Так как плоскость проходит через начало координат и перпендикулярна оси z, уравнение плоскости будет иметь вид z = 0.

Теперь найдем точку пересечения линии, образованной пересечением сферы, с плоскостью xy. Для этого подставим уравнение плоскости в уравнение сферы:

\[x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z = 4\]

\[x^2 + y^2 + 0^2 + 2y - 4(0) = 4\]

\[x^2 + y^2 + 2y = 4\]

Теперь представим это уравнение в виде квадратного трехчлена:

\[(y + 1)^2 - 1 = 4\]

\[(y + 1)^2 = 5\]

\[y + 1 = \pm\sqrt{5}\]

\[y = -1 \pm\sqrt{5}\]

Таким образом, получаем две точки пересечения линии с плоскостью: A(-1 - √5, -1) и B(-1 + √5, -1).

Для нахождения длины пересечения линии возьмем расстояние между точками A и B:

\[AB = \sqrt{((-1 + \sqrt{5}) - (-1 - \sqrt{5}))^2 + ((-1) - (-1))^2}\]

\[AB = \sqrt{(2 \sqrt{5})^2}\]

\[AB = 2 \sqrt{5}\]

2. Чтобы найти площадь сечения, образованного плоскостью под углом 60 градусов к радиусу шара, нам нужно знать высоту сечения. Высоту можно найти как произведение радиуса шара на синус угла между плоскостью и радиусом.

Высота сечения: \(h = 10 \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\)

Теперь можно найти площадь сечения, умножив высоту сечения на длину дуги, образованной этим сечением:

\[S = 5\sqrt{3} \cdot \text{длина дуги}\]

Длина дуги можно найти, используя формулу \(l = r\theta\), где \(r\) - радиус шара, а \(\theta\) - центральный угол сечения. Так как угол между плоскостью и радиусом равен 60 градусов, центральный угол сечения будет 120 градусов.

\[l = 10 \cdot 120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = 20\pi\]

Теперь можем найти площадь сечения:

\[S = 5\sqrt{3} \cdot 20\pi = 100\sqrt{3}\pi\]

3. Мы уже имеем уравнение сферы в канонической форме:

\[x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z = 4\]

Чтобы найти координаты центра сферы, мы должны представить это уравнение в виде суммы квадратов выражений, содержащих координаты центра сферы.

Итак, раскроем скобки для \(y^2 + 2y\) и \(z^2 - 4z\):

\[x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z = 4\]

\[x^2 + y^2 + 2y + 1 - 1 + z^2 - 4z + 4 - 4 = 4\]

\[x^2 + (y + 1)^2 - 1 + (z - 2)^2 - 4 + 4 = 4\]

\[x^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 5\]

Теперь у нас есть:

\[(x - 0)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = \sqrt{5}^2\]

Следовательно, центр сферы имеет координаты (0, -1, 2).

4. Чтобы найти значение m, которое делает точки a(0, m, 2) и b(1, 1, m-2) принадлежащими сфере, нам нужно подставить координаты этих точек в уравнение сферы и решить получившееся уравнение относительно m.

Подставим координаты точки a(0, m, 2) в уравнение сферы:

\[(0)^2 + (m)^2 + (2 - 4)^2 + 2(m) - 4(2) = 4\]

\[m^2 - 6m + 4 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):

\[D = (-6)^2 - 4(1)(4) = 36 - 16 = 20\]

Так как \(D > 0\), у нас есть два действительных корня:

\[m = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{20}}{2} = 3 + \sqrt{5}\]

\[m = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{20}}{2} = 3 - \sqrt{5}\]

Таким образом, значения m, при которых точки a и b принадлежат сфере, равны \(m = 3 + \sqrt{5}\) и \(m = 3 - \sqrt{5}\).