1) Какова длина высоты треугольной пирамиды sabc, основанием которой является равносторонний треугольник со стороной

Сирень_2807

63

1) Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора и синусы.

Длина высоты треугольной пирамиды описывает расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания. Обозначим высоту как h.

Для начала найдем длину стороны равностороннего треугольника-основания. У нас известна длина одной стороны, которая равна 4 см. Поскольку треугольник равносторонний, длины всех его сторон равны. Обозначим длину стороны треугольника как a.

Теперь давайте посмотрим на боковую грань треугольной пирамиды. Мы знаем, что угол между этой гранью и плоскостью основания составляет 60 градусов.

Используя синус угла, мы можем записать соотношение между длинами ребра, высоты и стороны основания:
\(\sin(60) = \frac{h}{a}\)

Так как угол 60 градусов соответствует \(\frac{\pi}{3}\) радиан, мы можем записать уравнение так:
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{a}\)

Теперь, чтобы найти длину высоты треугольной пирамиды, нам нужно выразить a через известные данные. У нас есть сторона основания, равная 4 см. По теореме Пифагора, мы можем найти длину стороны a:
\(a = \sqrt{4^2 - \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2}\)

Вычислив это выражение, получаем:
\(a = \sqrt{16 - \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{48}{3} - \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{32}{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)

Теперь мы можем подставить это значение в уравнение для высоты:
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\)

Перекрестно умножая, получаем:
\(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}\)

Таким образом, длина высоты треугольной пирамиды \(sabc\) равна \(2\sqrt{2}\) см.

2) Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды \(sabcd\), нам нужно знать ее высоту и периметр основания.

Зная, что все ребра пирамиды имеют длину 2, можно сказать, что каждая боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник. Обозначим сторону треугольника как а.

Так как точка \(t\) является серединой ребра, она делит боковую грань на два равных треугольника. Две стороны треугольника, исходящие из точки \(t\), имеют длину \(a/2\).

Теперь давайте посмотрим на один из таких треугольников. Мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длины боковой грани треугольной пирамиды, обозначим эту длину как \(b\):
\(b = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + 4}\)

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности, умножим периметр основания на длину боковой грани и разделим результат на 2:
\(S = \frac{ap}{2}\), где \(p\) - периметр основания.

У нас есть равносторонний треугольник, поэтому периметр можно найти, умножив длину стороны на 3:
\(p = 3a\)

Подставляем это значение в формулу для площади боковой поверхности:
\(S = \frac{a(3a)}{2} = \frac{3a^2}{2}\)

Заметим, что длина любой из сторон основания также является длиной стороны треугольника для высоты \(h\), опущенной из вершины пирамиды. Мы уже вычислили \(h\) в предыдущей задаче: \(h = 2\sqrt{2}\).

Теперь мы можем использовать уравнение для высоты, чтобы найти длину стороны \(a\):
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{a}\)

Перекрестно умножая, получаем:
\(a = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для площади боковой поверхности:
\(S = \frac{3\left(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2}{2}\)

После вычислений мы получим:
\(S = \frac{3 \cdot 32}{6} = 16\)

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна 16 квадратным сантиметрам.