1) Какова максимальная энергия конденсатора в идеальном колебательном контуре, который состоит из катушки

Амелия

35

Решим поставленные задачи.

1) Для нахождения максимальной энергии конденсатора в идеальном колебательном контуре мы можем использовать формулу для энергии в колебательном контуре:

\[E = \frac{1}{2} L I_0^2,\]

где \(E\) - максимальная энергия конденсатора, \(L\) - индуктивность катушки, \(I_0\) - максимальное значение заряда на конденсаторе.

Из условия задачи нам дано, что индуктивность катушки \(L = 25 \cdot 10^{-6} \, Гн\). Однако, в формуле для энергии используется максимальное значение заряда на конденсаторе \(I_0\), которое нам неизвестно. Также нам не дан закон изменения заряда при свободных колебаниях. Поэтому мы не можем найти точное значение максимальной энергии конденсатора без этих дополнительных данных.

2) Чтобы найти амплитуду напряжения на катушке с индуктивностью \(L = 0.5 \, Гн\), используем уравнение колебаний силы тока

\[I(t) = I_0 \cos(\omega t),\]

где \(I(t)\) - сила тока в катушке, \(I_0\) - амплитуда силы тока, \(\omega\) - циклическая частота колебаний.

Амплитуда напряжения на катушке связана с амплитудой силы тока следующим образом: \(V_0 = L \cdot \frac{dI}{dt}\), где \(V_0\) - амплитуда напряжения.

Необходимо найти амплитуду напряжения \(V_0\) при условии, что уравнение колебаний силы тока имеет вид \(\frac{dI}{dt} = 2 \sin(3t)\).

Для решения задачи найдем первообразную этой функции:

\[\int \frac{dI}{dt} dt = \int 2 \sin(3t) dt.\]

Интегрируя, получим:

\[I(t) = -\frac{2}{3} \cos(3t) + C,\]

где \(C\) - постоянная интегрирования. Постоянную \(C\) можно определить, подставив начальное условие \(I(0) = I_0\). Поскольку при \(t = 0\) сила тока в катушке равна \(I_0\), получим:

\[I_0 = -\frac{2}{3} \cos(0) + C.\]

Отсюда находим \(C = I_0 + \frac{2}{3}\).

Теперь мы можем записать уравнение для силы тока:

\[I(t) = -\frac{2}{3} \cos(3t) + I_0 + \frac{2}{3}.\]

Амплитуда силы тока равна разности максимального и минимального значений:

\[I_0 = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}.\]

Теперь можем найти амплитуду напряжения на катушке:

\[V_0 = L \cdot \frac{dI}{dt} = 0.5 \cdot 3 \cdot \frac{4}{3} \cdot \sin(3t) = 2 \sin(3t).\]

Таким образом, амплитуда напряжения на катушке равна \(2 \, В\).