1) Какова масса двойной звезды Толиман (а Центавра (Кентавра)) с параллаксом 0,742², периодом обращения в 79 лет

Pushistik

26

1) Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся законы Кеплера и формулы, связывающие период обращения, большую полуось орбиты и массу звезды. Давайте начнем сначала.

Закон Кеплера утверждает, что квадрат периода обращения одной планеты вокруг звезды пропорционален кубу большой полуоси орбиты этой планеты. Мы можем записать это как:

\[\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}\],

где \(T_1\) и \(T_2\) - периоды обращения, \(r_1\) и \(r_2\) - большие полуоси орбиты двух планет.

Мы знаем период обращения Толимана в 79 лет, а также большую полуось орбиты, видимую с Земли под углом 14,2². Пусть \(T_1 = 79\) и \(r_1\) - это большая полуось орбиты Толимана.

Мы также знаем параллакс Толимана, который определяется как обратное значение расстояния до звезды. Параллакс может быть выражен следующим образом:

\[\text{параллакс} = \frac{1}{d}\],

где \(d\) - расстояние до звезды. В данном случае, параллакс Толимана равен \(0.742^2\).

Мы можем использовать параллакс для вычисления расстояния до Толимана:

\[d = \frac{1}{\text{параллакс}}\].

Теперь мы можем приступить к нахождению массы Толимана.

Используя закон Кеплера, мы можем выразить \(r_2\) через известные значения:

\[\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}\].

Подставив известные значения:

\[\frac{79^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}\].

Теперь мы можем найти \(r_2\). Решив это уравнение, получим:

\[r_2^3 = \frac{{T_2^2 \cdot r_1^3}}{{79^2}}\].

\[r_2 = \sqrt[3]{{\frac{{T_2^2 \cdot r_1^3}}{{79^2}}}}\].

Теперь у нас есть все необходимые данные для расчета массы Толимана. Расстояние до звезды \(d\) известно, так как мы вычислили его ранее. Параллакс Толимана \(0.742^2\) также известен.

Масса звезды может быть вычислена с использованием следующей формулы:

\[M = \frac{{4 \cdot \pi^2 \cdot r^3}}{{G \cdot T^2 \cdot d^2}}\],

где \(M\) - масса звезды, \(r\) - большая полуось орбиты, \(G\) - гравитационная постоянная равная \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 / \, \text{кг} \, \text{сек}^2\), и \(T\) - период обращения.

Подставив известные значения, получаем:

\[M = \frac{{4 \cdot \pi^2 \cdot r_2^3}}{{G \cdot T_2^2 \cdot d^2}}\].

Подставляя выражение для \(r_2\) и известные значения, получим:

\[M = \frac{{4 \cdot \pi^2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\frac{{T_2^2 \cdot r_1^3}}{{79^2}}}}\right)^3}}{{G \cdot T_2^2 \cdot d^2}}\].

Упрощая это уравнение, получим окончательный ответ для массы двойной звезды Толиман (а Центавра):

\[M = \frac{{4 \cdot \pi^2 \cdot \sqrt[3]{{\frac{{T_2^2 \cdot r_1^3}}{{79^2}}}}^3}}{{G \cdot T_2^2 \cdot d^2}}\].

2) Давайте решим эту задачу. Нам нужно узнать, во сколько раз новая звезда в Персее стала ярче за сутки, если за двое суток ее блеск увеличился с 12 до 2 звездной величины.

Звездная величина - это система, используемая для измерения яркости небесных объектов. Чем меньше значение звездной величины, тем ярче объект. Известно, что при увеличении звездной величины на 1, яркость объекта уменьшается приблизительно в 2.512 раз.

Используя эту информацию, мы можем решить задачу.

За двое суток блеск новой звезды увеличился с 12 до 2 звездной величины. То есть, блеск увеличился на 10 звездных величин.

Мы можем использовать соотношение между звездными величинами и яркостью для вычисления, во сколько раз ярче стала звезда.

Используя формулу, получим:

\[\text{яркость} = 2.512^{-\text{звездная величина}}\].

Теперь мы можем рассчитать исходную яркость звезды (до увеличения) и яркость после увеличения на 10 звездных величин. Затем мы можем найти отношение этих двух значений, чтобы узнать, во сколько раз звезда стала ярче.

Подставляя известные значения, получаем:

\[\text{отношение} = \frac{{\text{яркость после увеличения}}}{\text{исходная яркость}} = \frac{{2.512^{-12}}}{2.512^{-2}}\].

Упрощая это уравнение, получаем окончательный ответ:

\[\text{отношение} = 2.512^{10}\].

То есть, новая звезда в Персее стала ярче примерно в \(2.512^{10}\) раз за сутки.