1. Какова начальная скорость частицы, если ее радиус-вектор зависит от времени по закону , где A, B, ω – постоянные

Raduzhnyy_Sumrak

54

1. Для нахождения начальной скорости частицы, мы можем использовать формулу для радиус-вектора, данную в задаче. Радиус-вектор в данном случае представляет собой функцию времени. Дано, что T(тау) = 1 с. Мы знаем, что радиус-вектор представляется формулой: \(\vec{r}(t) = A\cos(\omega t)\hat{i} + B\sin(\omega t)\hat{j} + C\hat{k}\).

Заменим известные значения A = 2 м, B = 3 м, T(тау) = 1 с и ω равно постоянной величине в радианах в секунду.

\(\vec{r}(t) = 2\cos(\omega t)\hat{i} + 3\sin(\omega t)\hat{j} + C\hat{k}\)

Так как частица находится в начальной точке в момент времени t = 0, то радиус-вектор будет:
\(\vec{r}(0) = 2\cos(\omega \cdot 0)\hat{i} + 3\sin(\omega \cdot 0)\hat{j} + C\hat{k} = 2\hat{i} + C\hat{k}\).

Теперь, чтобы найти начальную скорость, мы дифференцируем радиус-вектор по времени:

\(\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} = -2\omega\sin(\omega t)\hat{i} + 3\omega\cos(\omega t)\hat{j} + 0\hat{k}\).

Теперь подставим t = 0, чтобы найти начальную скорость:

\(\vec{v}(0) = -2\omega\sin(\omega \cdot 0)\hat{i} + 3\omega\cos(\omega \cdot 0)\hat{j} + 0\hat{k} = -2\omega\hat{i} + 3\omega\hat{j}\).

Таким образом, начальная скорость частицы равна \(-2\omega\hat{i} + 3\omega\hat{j}\).

2. В данной задаче, частица движется по дуге окружности радиусом R = 1 метр. Угол поворота частицы зависит от времени по закону φ. Дано, что А = 4 радиана и T(тау) = 1 секунда.

Мы можем использовать формулу для линейной скорости по дуге окружности:
\(v = \dfrac{d\phi}{dt}\).

Так как дано, что T(тау) = 1 секунда и А = 4 радиана, мы можем написать:

\(\phi(t) = A \cdot t = 4 \cdot t\) (функция зависимости угла от времени).

Теперь дифференцируем угол по времени, чтобы найти линейную скорость:

\(\dfrac{d\phi}{dt} = \dfrac{d(4 \cdot t)}{dt} = 4\).

Таким образом, линейная скорость частицы будет равна 4 м/с.

3. Когда небольшой шарик массы m летит со скоростью V1 под углом α = 60° к горизонту и падает на вертикальную стену, он будет двигаться по параболе из-за влияния гравитации.

Падение шарика на вертикальную стену будет иметь две составляющие: горизонтальная и вертикальная. Горизонтальная составляющая останется постоянной, так как шарик движется горизонтально до падения на стену. Вертикальная составляющая будет меняться из-за влияния гравитации.

Так как шарик падает под углом 60° к горизонту, мы можем использовать следующие формулы:

Горизонтальная составляющая скорости (Vx) будет равна начальной скорости шарика (V1) умноженной на косинус угла α: \(V_x = V_1 \cos(\alpha)\).

Вертикальная составляющая скорости (Vy) будет равна начальной скорости шарика (V1) умноженной на синус угла α: \(V_y = V_1 \sin(\alpha)\).

Когда шарик падает на стену, горизонтальная составляющая скорости останется постоянной, но вертикальная составляющая будет меняться под влиянием гравитации.