1) Какова скорость каждого бегуна, если два бегуна выбегают навстречу друг другу из пунктов, отстоящих друг от друга

Летучий_Демон

43

1) Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать знания о скорости и времени.

Пусть \(v_1\) - скорость первого бегуна (в км/ч), а \(v_2\) - скорость второго бегуна (в км/ч).

Из условия задачи мы знаем, что суммарная скорость двух бегунов составляет 16,5 км/ч. Мы также знаем, что первый бегун выбежал на полчаса раньше второго, и через 2,5 часа после начала бега второго бегуна они встретятся.

Теперь давайте рассмотрим расстояние, которое каждый бегун пробегает за 2,5 часа. Первый бегун пробежит \(v_1 \cdot 2,5\) км, а второй бегун пробежит \(v_2 \cdot 2,5\) км.

Также известно, что расстояние между ними составляет 45 км.

Итак, у нас есть два уравнения:

\[
v_1 \cdot 2,5 + v_2 \cdot 2,5 = 45
\]
\[
v_1 = v_2 + 16,5
\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Подставим второе уравнение в первое:

\[
(v_2 + 16,5) \cdot 2,5 + v_2 \cdot 2,5 = 45
\]

Раскроем скобки и произведем необходимые вычисления:

\[
2,5v_2 + 2,5 \cdot 16,5 + 2,5v_2 = 45
\]
\[
5v_2 + 41,25 = 45
\]
\[
5v_2 = 45 - 41,25
\]
\[
5v_2 = 3,75
\]
\[
v_2 = \frac{3,75}{5}
\]
\[
v_2 = 0,75 \, \text{км/ч}
\]

Теперь, зная скорость второго бегуна, мы можем найти скорость первого бегуна, подставляя эту информацию во второе уравнение:

\[
v_1 = 0,75 + 16,5
\]
\[
v_1 = 17,25 \, \text{км/ч}
\]

Итак, скорость первого бегуна \(v_1 = 17,25 \, \text{км/ч}\), а скорость второго бегуна \(v_2 = 0,75 \, \text{км/ч}\).

Произведение скоростей бегунов составляет \(v_1 \cdot v_2 = 17,25 \cdot 0,75 = 12,9375 \, \text{км}^2/\text{ч}\).

2) Для решения неравенства \(x(x+2)^2 \sqrt{x+4} \geq 0\) на отрезке \([-5; 4]\), нам нужно определить интервалы, на которых данное неравенство истинно.

Обратите внимание, что произведение двух чисел будет неотрицательным, если оба числа имеют одинаковый знак (т.е. оба положительные или оба отрицательные).

Разделим отрезок \([-5; 4]\) на три интервала: \((- \infty; -4)\), \((-4; -2)\), \((-2; 4]\). Рассмотрим каждый из этих интервалов.

a) Для интервала \((- \infty; -4)\):

Подставим любое отрицательное число \(x < -4\) в исходное неравенство:

\[x(x+2)^2 \sqrt{x+4} < 0\]

Так как все множители в левой части неравенства будут отрицательными, то произведение самих множителей также будет отрицательным. Значит, данное неравенство не выполняется на интервале \((- \infty; -4)\).

b) Для интервала \((-4; -2)\):

Подставим любое число из этого интервала в исходное неравенство:

\[x(x+2)^2 \sqrt{x+4} > 0\]

Заметим, что при \(x = -3\) величина \((x+2)^2\) равна нулю, что означает, что в данном интервале исходное неравенство не выполняется. Однако, мы знаем, что корень из \(x+4\) неотрицательный (\(\geq 0\)). Также, если \(x < -4\) или \(x > -2\), то вся левая часть неравенства отрицательна. Итак, данное неравенство не выполняется на интервале \((-4; -2)\).

c) Для интервала \((-2; 4]\):

Подставим любое число из этого интервала в исходное неравенство:

\[x(x+2)^2 \sqrt{x+4} \geq 0\]

Теперь мы получим неотрицательное число, так как все множители в левой части неравенства будут иметь одинаковые знаки. Значит, данное неравенство выполняется на интервале \((-2; 4]\).

Итак, на отрезке \([-5; 4]\) неравенство \(x(x+2)^2 \sqrt{x+4} \geq 0\) выполняется только на интервале \((-2; 4]\).

3) Для нахождения площади прямоугольного треугольника, в котором биссектриса и высота, опущенные из вершины прямого угла, равны 5, мы можем использовать следующую формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - катеты треугольника.

В данном случае, биссектриса и высота, опущенные из вершины прямого угла, равны 5. Заметим, что биссектриса и высота треугольника будут одной и той же линией, так как у прямоугольного треугольника биссектриса из вершины прямого угла является одновременно и его высотой.

Таким образом, длина обеих катетов равна 5. Подставим эти значения в формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 25 = 12,5\]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 12,5.