1) Какова высота, на которую поднимется камень, если он будет вращаться в вертикальной плоскости с веревкой длиной

Белка

62

Задача 1:
Дано:
Длина веревки, \(L = 40\) см.
Количество оборотов, \(n = 7\).
Время вращения, \(t = 2\) с.
Скорость камня при обрыве веревки направлена вертикально вверх.

Чтобы найти высоту, на которую поднимется камень, воспользуемся законом сохранения энергии. В этой задаче у нас есть изменение потенциальной энергии и изменение кинетической энергии.

1) Изменение потенциальной энергии:
\(\Delta U = mgh\), где \(m\) - масса камня, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - изменение высоты.

2) Изменение кинетической энергии:
\(\Delta K = \frac{1}{2}mv^2\), где \(v\) - скорость камня.

По условию задачи, в момент обрыва веревки скорость камня направлена вертикально вверх. В этот момент кинетическая энергия равна нулю, поэтому \(\Delta K = 0\).

Таким образом, изменение энергии составляет только потенциальную энергию:
\(\Delta E = \Delta U = mgh\).

Теперь выразим скорость через время и количество оборотов. Скорость камня можно найти как отношение пути к времени:
\(v = \frac{2\pi r}{t}\),

где \(r\) - радиус окружности, проводимой камнем.

Таким образом,
\(r = \frac{L}{2\pi n}\).

Подставим это значение в формулу для скорости:
\(v = \frac{2\pi \frac{L}{2\pi n}}{t} = \frac{L}{nt}\).

Теперь мы можем выразить высоту, используя полученные значения:
\(\Delta E = mgh = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{L}{nt}\right)^2\).

Отсюда получаем выражение для высоты:
\(h = \frac{L^2}{2nt^2g}\).

Подставим известные значения в формулу и рассчитаем:
\(h = \frac{(0.4 \, \text{м})^2}{2 \cdot 7 \cdot (2 \, \text{с})^2 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2} \approx 0.034 \, \text{м} \approx 3.4 \, \text{см}\).

Таким образом, камень поднимется на высоту около \(3.4\) см.

Задача 2:
Дано:
Радиус закругленного участка дороги, \(R = 500\) м.
Скорость автомобиля, \(v = 90\) км/ч = \(25\) м/с.

Центростремительное ускорение \(a_c\) связано со скоростью \(v\) и радиусом кривизны \(R\) следующим образом:
\(a_c = \frac{v^2}{R}\).

Подставим известные значения в формулу и рассчитаем:
\(a_c = \frac{(25 \, \text{м/с})^2}{500 \, \text{м}} = 1 \, \text{м/с}^2\).

Таким образом, центростремительное ускорение автомобиля равно \(1 \, \text{м/с}^2\).