1. Какова высота прямоугольного параллелепипеда, у которого в основании лежит квадрат со стороной 5 см и объем равен

Evgeniy

5

1. Дано: сторона квадрата основания \(a = 5\) см, объем \(V = 400\) см^3
Найти: высоту параллелепипеда \(h\)
Решение:
Объем параллелепипеда вычисляется по формуле \(V = a^2 \cdot h\), где \(a\) - сторона квадрата основания, \(h\) - высота параллелепипеда.
Подставляя значения из условия задачи, получаем:
\(400 = 5^2 \cdot h\)
\(h = \frac{400}{5^2} = 16\) см
Ответ: высота параллелепипеда равна 16 см.

2. Дано: ребро основания призмы \(a = 4\) см, объем \(V = 200\) см^3
Найти: высоту треугольной призмы \(h\)
Решение:
Объем правильной треугольной призмы вычисляется по формуле \(V = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot a^2 \cdot h\), где \(a\) - длина ребра основания, \(h\) - высота призмы.
Подставляя значения из условия задачи, получаем:
\(200 = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot 4^2 \cdot h\)
\(\sqrt{3} \cdot h = \frac{{200 \cdot 4}}{4^2} = 50\)
\(h = \frac{{50}}{{\sqrt{3}}} \approx 28.87\) см (округляем до двух знаков после запятой)
Ответ: высота треугольной призмы примерно равна 28.87 см.

3. Дано: радиус основания конуса не меняется, высота уменьшается в 4 раза
Найти: изменение объема конуса
Решение:
Объем конуса вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота конуса.
Подставляя значения в формулу, получаем:
\(V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)
\(V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 \left(\frac{h}{4}\right) = \frac{1}{12} \pi r^2 h\)
Изменим объем выражением \(V_2 - V_1\):
\(\Delta V = \frac{1}{12} \pi r^2 h - \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{12} \pi r^2 h - \frac{4}{12} \pi r^2 h = -\frac{1}{6} \pi r^2 h\)
Ответ: объем конуса изменится на \(-\frac{1}{6} \pi r^2 h\).

4. Дано: радиус шара увеличен в 2 раза
Найти: увеличение объема шара
Решение:
Объем шара вычисляется по формуле \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\), где \(r\) - радиус шара.
Подставляя значения в формулу, получаем:
\(V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3\)
\(V_2 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi 8r^3 = 8 \left(\frac{4\pi}{3} r^3\right) = 8V_1\)
Увеличение объема можно выразить как частное \(V_2 / V_1\):
\(\frac{V_2}{V_1} = \frac{8V_1}{V_1} = 8\)
Ответ: объем шара увеличится в 8 раз.

5. Дано: два ребра параллелепипеда выходят из одной вершины и равны 2 м и 3 м, объем \(V = 36\) м^3
Найти: диагональ параллелепипеда \(d\)
Решение:
Объем параллелепипеда вычисляется по формуле \(V = a \cdot b \cdot c\), где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны параллелепипеда.
Подставляя значения из условия задачи, получаем:
\(36 = 2 \cdot 3 \cdot h\)
\(h = \frac{36}{2 \cdot 3} = 3\) м
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения диагонали:
\(d^2 = a^2 + b^2 + h^2\)
\(d^2 = 2^2 + 3^2 + 3^2\)
\(d^2 = 4 + 9 + 9 = 22\)
\(d = \sqrt{22} \approx 4.69\) м (округляем до двух знаков после запятой)
Ответ: диагональ параллелепипеда примерно равна 4.69 м.

6. Объем конуса - это мера трехмерного пространства, занимаемого конусом. Он вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота конуса. Формула указывает, что объем конуса равен трети площади основания, умноженной на высоту конуса. Объем конуса измеряется в кубических единицах объема, таких как кубический сантиметр (\(см^3\)) или кубический метр (\(м^3\)).