1) Каково доказательство того, что никакие три точки окружности не лежат на одной прямой? 2) В зависимости

Barsik

40

через точку касания?
1) Доказательство того, что никакие три точки окружности не лежат на одной прямой основано на противоречии. Предположим, что существуют три точки \(A\), \(B\) и \(C\), лежащие на одной прямой. Тогда прямая \(AB\) будет проходить через центр окружности, так как радиус окружности является перпендикуляром к прямой \(AB\) в точке \(A\). Аналогично, прямая \(BC\) также будет проходить через центр окружности. Следовательно, прямая \(AC\) будет пересекать центр окружности. Однако, это противоречит определению окружности, которая гласит, что все точки окружности находятся на одном и том же расстоянии от центра. Таким образом, невозможно, чтобы все три точки лежали на одной прямой, и доказательство завершено.

2) Количество общих точек между прямой и окружностью зависит от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от ее центра до прямой. Рассмотрим следующие случаи:
- Если расстояние между центром окружности и прямой больше радиуса окружности, то прямая не пересекает окружность и, следовательно, имеет 0 общих точек с окружностью.
- Если расстояние между центром окружности и прямой равно радиусу окружности, то прямая касается окружности в одной точке.
- Если расстояние между центром окружности и прямой меньше радиуса окружности, то прямая пересекает окружность в двух различных точках.

3) Секущей по отношению к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

4) Касательной к окружности называется прямая, которая касается окружности в одной и только одной точке. Точка касания прямой и окружности называется точкой касания.

5) Теорема о свойстве касательной утверждает, что если прямая касается окружности в точке \(A\), а хорда \(BC\) проходит через точку \(A\), то угол между касательной и хордой равен половине угла, опирающегося на хорду и проходящего через точку касания. Докажем эту теорему.

Пусть угол \(\angle BAC\) – угол между касательной и хордой, \(\angle ABC\) – угол, опирающийся на хорду и проходящий через точку касания. Требуется доказать, что \(\angle BAC = \frac{1}{2} \angle ABC\).

Для начала, обратим внимание, что касательная и хорда образуют замок (внешний и внутренний треугольники ABC и ABD на рисунке приведены варианты этого замка), где точка \(A\) является вершиной, а отрезок, соединяющий точку касания \(B\) и вершину \(A\) является общей стороной.

\[\[image\]

Заметим, что внешний треугольник ABC подобен внутреннему треугольнику ABD, так как углы \(\angle ABC\) и \(\angle BAD\) являются соответствующими углами подобных треугольников (они вертикальные углы).

Теперь мы можем записать следующее соотношение между соответствующими сторонами треугольников ABC и ABD:

\[\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}\]

Так как точка касания – это точка, где касательная и хорда пересекаются, то сторона \(AC\) внешнего треугольника ABC равна \(AD\) в внутреннем треугольнике ABD (они оба являются радиусами окружности).

Следовательно, мы можем записать:

\[\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC} = 1\]

Отсюда получаем:

\[AC^2 = AB \cdot AD\]

Из подобия треугольников также следует, что:

\[\angle BAC = \angle BAD\]

Теперь рассмотрим замок снова:

\[\[image\]

Обозначим угол между касательной и хордой как \(\alpha\), а угол, опирающийся на хорду и проходящий через точку касания, как \(\beta\). Так как углы \(\angle BAC\) и \(\angle BAD\) равны, то мы имеем:

\[\angle BAC = \angle BAD = \alpha + \beta\]

Также заметим, что угол \(\angle ABC\) – это внешний угол треугольника ABC, и согласно теореме о внешнем угле треугольника, он равен сумме внутренних углов треугольника, не являющихся этим углом. Поэтому:

\[\angle ABC = \alpha + \beta\]

Таким образом, мы имеем:

\[\angle BAC = \alpha + \beta = \angle ABC\]

Теорема доказана.

6) Для доказательства того, что отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и образуют равные углы с прямой, проходящей через точку касания, может быть использован анализ подобных треугольников и применение соответствующих свойств.

Для выделения первого соответствующего треугольника рассмотрим окружность с центром \(O\) и двумя точками касания \(A\) и \(B\) с двумя касательными. Рассмотрим треугольники \(OAB\) и \(OBA\). Они будут подобными треугольниками по причине общего угла \(\angle AOB\) и пары вертикальных углов \(\angle OAB\) и \(\angle OBA\).

Заметим, что отрезок \(OA\) будет радиусом окружности и, следовательно, будет иметь равную длину отрезку \(OB\), так как оба отрезка являются радиусами окружности. Кроме того, угол \(\angle OAB\) будет равен углу \(\angle OBA\), так как они являются вертикальными углами.

Теперь рассмотрим равенство углов, образованных касательными и прямой, проходящей через точку касания. Пусть углы между касательной \(AB\) и прямой \(OT\) будут обозначены как \(\angle OAT\) и \(\angle OBT\). Так как треугольники \(OAB\) и \(OBA\) подобными треугольниками, то углы \(\angle A\) и \(\angle B\) являются соответствующими углами двух подобных треугольников.

Следовательно, углы \(\angle OAT\) и \(\angle OBT\) также могут быть равными (их сумма будет равна углу между касательными).

Таким образом, отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, будут равными, а углы, образованные ими с прямой, проходящей через точку касания, будут равными.

Доказательство завершено.