1/ Каково количество возможных способов проиграть 5 из 10 выбранных песен диджея? 2/ Сколько существует вариантов

Летучий_Демон

43

1/ Количество возможных способов проиграть 5 из 10 выбранных песен диджея можно определить с помощью комбинаторики. Для этой задачи мы можем использовать формулу сочетания. Формула сочетания выглядит следующим образом: \({C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}}\), где \(n\) - количество элементов, из которых выбираем, \(k\) - количество элементов, которые выбираем.

В данной задаче, у нас есть 10 песен и мы выбираем 5 из них. Поэтому мы можем использовать формулу сочетания \(C(10, 5)\).

\({C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!}}\)

Выполняя вычисления, получим:

\({C(10, 5) = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252}\)

Таким образом, количество возможных способов проиграть 5 из 10 выбранных песен диджея равно 252.

2/ Чтобы определить количество вариантов размещения 5 книг на полке, мы можем использовать формулу перестановки. Формула перестановки выглядит следующим образом: \({P(n) = n!}\), где \(n\) - количество элементов, которые распределяем.

В данной задаче, у нас есть 5 книг, которые мы размещаем на полке. Поэтому количество вариантов размещения книг можно определить как \(P(5)\).

Выполняя вычисления, получим:

\({P(5) = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120}\)

Таким образом, количество вариантов размещения 5 книг на полке равно 120.

3/ Чтобы определить число возможных расстановок четырех мальчиков и трех девочек в кинотеатре таким образом, чтобы каждая девочка находилась между двумя мальчиками, мы можем использовать комбинаторику.

Для решения этой задачи, мы можем выполнить следующий шаги:

- Расставить мальчиков и девочек в произвольном порядке. У нас есть 7 человек, поэтому их можно расставить \(7!\) (факториал 7) способами.

- Теперь, чтобы каждая девочка находилась между двумя мальчиками, мы должны учесть, что у нас есть 4 места для размещения мальчиков между девочками. Каждая девочка может быть размещена между двумя мальчиками, поэтому у нас есть \(4!\) (факториал 4) вариантов размещения мальчиков.

- Итак, общее число возможных расстановок равно \(7! \cdot 4!\).

Выполняя вычисления, получим:

\({7! \cdot 4! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 20,160}\)

Таким образом, число возможных расстановок четырех мальчиков и трех девочек в кинотеатре таким образом, чтобы каждая девочка находилась между двумя мальчиками, равно 20,160.

4/ Чтобы определить количество вариантов, позволяющих каждой из трех супружеских пар сесть лицом к лицу на противоположных сторонах за столом, при условии, что за столом сидит 10 человек - пять с одной стороны и пять с противоположной стороны, мы можем использовать комбинаторику.

Для решения этой задачи, мы можем выполнить следующий шаги:

- Для первой супружеской пары, у нас есть 5 способов выбрать место для супруга.

- После выбора места для первой супружеской пары, у нас остается строка из 4 человек, 3 из которых - супруги. У нас есть 4 способа выбрать место для супруга второй пары.

- После выбора места для второй супружеской пары, у нас остается строка из 2 человек, оставшаяся супружеская пара.

- Для последней супружеской пары, у нас остается только 1 свободное место.

Таким образом, общее количество вариантов равно произведению количества вариантов для каждой супружеской пары. Поэтому, общее количество вариантов равно \(5 \cdot 4 \cdot 1 = 20\).

Таким образом, количество вариантов позволяет каждой из трех супружеских пар сесть лицом к лицу на противоположных сторонах, при условии, что за столом сидит 10 человек - пять с одной стороны и пять с противоположной стороны, равно 20.