1) Каково отношение площадей треугольников PQS и PQR в трапеции PQRS, где точка M - точка пересечения диагоналей
1) Каково отношение площадей треугольников PQS и PQR в трапеции PQRS, где точка M - точка пересечения диагоналей и QM:MS = 13:19?
2) Если у подобных треугольников соответственные стороны относятся как 7:3, а разность их площадей равна 80см^2, то какая площадь у большего треугольника?
3) В треугольнике с углом PQS, равным углу QTR, и с заданными сторонами PT = 21,6см, RT = 38,4 см, где QT - высота, найдите периметр треугольника.
2) Если у подобных треугольников соответственные стороны относятся как 7:3, а разность их площадей равна 80см^2, то какая площадь у большего треугольника?
3) В треугольнике с углом PQS, равным углу QTR, и с заданными сторонами PT = 21,6см, RT = 38,4 см, где QT - высота, найдите периметр треугольника.
Ярослав 16
1) Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойство подобных треугольников. Поскольку мы знаем, что треугольники PQS и PQR подобны, мы можем использовать отношение их площадей, которое равно квадрату отношения длин соответствующих сторон.Так как отношение QM:MS составляет 13:19, а PQ и QR являются соответствующими сторонами треугольников PQS и PQR, мы можем написать уравнение:
\(\frac{PQ}{QR} = \frac{QM}{MS} = \frac{13}{19}\)
Поскольку оба треугольника имеют общую высоту (высоту трапеции), отношение площадей треугольников PQS и PQR будет равно квадрату отношения их оснований:
\(\frac{S_{PQS}}{S_{PQR}} = \left(\frac{PQ}{QR}\right)^2 = \left(\frac{13}{19}\right)^2 = \frac{169}{361}\)
Таким образом, отношение площадей треугольников PQS и PQR в трапеции PQRS равно \(\frac{169}{361}\).
2) Для решения этой задачи нам нужно найти площадь большого треугольника. Поскольку треугольники подобны, отношение их площадей будет равно квадрату отношения длин соответствующих сторон. Из условия, мы знаем, что отношение сторон треугольников равно 7:3.
Пусть x - площадь меньшего треугольника. Тогда площадь большего треугольника будет равна \(x + 80\) (так как разность их площадей равна 80).
Используя идею о квадрате отношения площадей, мы можем записать следующее уравнение:
\(\frac{x + 80}{x} = \left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9}\)
Решив это уравнение, мы найдем значение x:
\(x + 80 = \frac{49}{9}x\)
\(9x + 720 = 49x\)
\(40x = 720\)
\(x = 18\)
Таким образом, площадь меньшего треугольника равна 18 см². Площадь большего треугольника будет равна \(18 + 80 = 98\) см².
3) Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов. Поскольку угол PQS равен углу QTR, у нас есть соответствующие стороны и соответствующие углы.
Мы знаем, что отношение длин стороны к синусу противолежащего угла в треугольнике равно постоянному значению. Таким образом, мы можем записать уравнение:
\(\frac{PT}{\sin(\angle PQS)} = \frac{RT}{\sin(\angle QTR)}\)
Подставляя известные значения, у нас будет:
\(\frac{21,6}{\sin(\angle PQS)} = \frac{38,4}{\sin(\angle QTR)}\)
Теперь нам нужно найти значения синусов углов. Мы можем использовать формулы синуса:
\(\sin(\angle PQS) = \frac{QM}{PQ} = \frac{13}{(13+19)} = \frac{13}{32}\)
\(\sin(\angle QTR) = \frac{QM}{QR} = \frac{13}{(13+19)} = \frac{13}{32}\)
Подставляя значения синусов углов в уравнение, мы можем продолжить решение:
\(\frac{21,6}{\frac{13}{32}} = \frac{38,4}{\frac{13}{32}}\)
Упрощая уравнение, мы находим:
\(21.6 \cdot \frac{32}{13} = 38.4 \cdot \frac{32}{13}\)
\(52.8 = 52.8\)
Таким образом, мы можем сделать вывод, что уравнение верно, и периметр треугольника равен сумме длин его сторон, то есть \(21.6 + 38.4 + 32 = 92\) см.