1. Каково скалярное произведение векторов CB1 и CД1 в данном кубе АВСДА1В1С1Д1 с ребром, равным корню из 2? [4

Skolzkiy_Pingvin

30

1. Скалярное произведение векторов CB1 и CД1 в данном кубе АВСДА1В1С1Д1 с ребром, равным корню из 2, можно найти, используя формулу \(AB \cdot CD = |AB| \cdot |CD| \cdot \cos(\theta)\), где AB и CD - векторы, а \(\theta\) - угол между ними. В данном случае, чтобы найти скалярное произведение CB1 и CД1, нужно найти длину векторов CB1 и CД1, а затем умножить их длины на косинус угла между ними.

Куб АВСДА1В1С1Д1 состоит из шести граней, каждая из которых является квадратом. Так как ребро куба равно \(\sqrt{2}\), то длина стороны каждого квадрата равно \(\sqrt{2}\).

Для начала найдем длину вектора CB1. Вектор CB1 совпадает со стороной квадрата, поэтому его длина будет равна \(\sqrt{2}\).

Аналогично, найдем длину вектора CД1. Он также совпадает со стороной квадрата и его длина будет равна \(\sqrt{2}\).

Теперь найдем косинус угла между векторами CB1 и CД1. Угол между сторонами квадратов равен 90 градусов, поэтому косинус этого угла равен 0.

Теперь, зная длины векторов и косинус угла между ними, можно найти скалярное произведение по формуле:
\[CB1 \cdot CД1 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 0 = 0\]

Ответ: Скалярное произведение векторов CB1 и CД1 в данном кубе АВСДА1В1С1Д1 равно 0.


2. Для векторов а(-1;3;2) и b(2;-1;1):

а) Чтобы найти результат скалярного произведения векторов (а+ b)(a-b), нужно сначала найти вектор (а+ b) и вектор (a-b), а затем вычислить их скалярное произведение.

Вектор \((a+ b)\) вычисляется путем сложения соответствующих координат векторов а и b:
\((a+ b) = (-1;3;2) + (2;-1;1) = (1;2;3)\)

Вектор \((a-b)\) вычисляется путем вычитания соответствующих координат векторов а и b:
\((a-b) = (-1;3;2) - (2;-1;1) = (-3;4;1)\)

Теперь, чтобы найти результат скалярного произведения \((a+ b)(a-b)\), нужно перемножить соответствующие координаты векторов \((a+ b)\) и \((a-b)\), а затем сложить полученные произведения:

\((a+ b)(a-b) = (1;2;3) \cdot (-3;4;1) = 1 \cdot -3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = -3 + 8 + 3 = 8\)

Ответ: Результат скалярного произведения векторов (а+ b)(a-b) равен 8.

б) Чтобы найти косинус угла между векторами а и b, можно воспользоваться формулой:

\(\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}\)

Где a и b - векторы, \(\theta\) - угол между ними.

Найдем сначала скалярное произведение векторов а и b:
\(a \cdot b = (-1;3;2) \cdot (2;-1;1) = -1 \cdot 2 + 3 \cdot -1 + 2 \cdot 1 = -2 - 3 + 2 = -3\)

Теперь найдем длину вектора а:
\(|a| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{14}\)

И длину вектора b:
\(|b| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}\)

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса угла:
\(\cos(\theta) = \frac{-3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3}{\sqrt{84}}\)

Ответ: Косинус угла между векторами а и b равен \(\frac{-3}{\sqrt{84}}\).

3. В треугольнике АВС с вершинами А(4;-3;2), В(1;2;2), С(6;5;4), чтобы доказать, что векторы АВ и BC перпендикулярны, можно воспользоваться свойством перпендикулярности векторов.

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. То есть, чтобы доказать, что векторы АВ и BC перпендикулярны, нужно проверить, что их скалярное произведение равно нулю.

Вектор АВ можно найти путем вычитания соответствующих координат вершин B и A:
АВ = В - А = (1 - 4; 2 - (-3); 2 - 2) = (-3; 5; 0)

Вектор ВС можно найти путем вычитания соответствующих координат вершин C и B:
ВС = С - В = (6 - 1; 5 - 2; 4 - 2) = (5; 3; 2)

Теперь найдем скалярное произведение векторов АВ и ВС:
АВ * ВС = (-3; 5; 0) * (5; 3; 2) = -3 * 5 + 5 * 3 + 0 * 2 = -15 + 15 + 0 = 0

Таким образом, скалярное произведение векторов АВ и ВС равно 0.

Ответ: Векторы АВ и ВС перпендикулярны.

4. Сфера задана уравнением \((x - 2)^2 + (y + 5)^2 + z^2 = 9\).

а) Для того чтобы найти координаты центра сферы и радиус, нужно привести уравнение сферы к каноническому виду \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\). Где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус.

Раскроем скобки в исходном уравнении:
\(x^2 - 4x + 4 + y^2 + 10y + 25 + z^2 = 9\)

Соберем квадраты вместе:
\(x^2 - 4x + y^2 + 10y + z^2 = 9 - 4 - 25\)
\(x^2 - 4x + y^2 + 10y + z^2 = -20\)

Теперь нужно дополнить квадратные выражения полными квадратами, чтобы привести уравнение сферы к каноническому виду.

Для этого добавим и вычтем определенные значения в выражении:
\(x^2 - 4x + 4 + y^2 + 10y + 25 + z^2 = -20 + 4 + 25\)

Получим:
\((x - 2)^2 + (y + 5)^2 + z^2 = 9\)

Сравнивая получившееся уравнение с каноническим видом, можно сделать вывод, что координаты центра сферы равны (2, -5, 0), а радиус равен 3.

Ответ: Координаты центра сферы - (2, -5, 0), радиус - 3.

б) Чтобы определить, принадлежит ли точка А(4;-3;-1) этой сфере, нужно подставить ее координаты в уравнение сферы и проверить равенство:

\((4 - 2)^2 + (-3 + 5)^2 + (-1 - 0)^2 = 9\)

\(2^2 + 2^2 + 1^2 = 9\)

\(4 + 4 + 1 = 9\)

\(9 = 9\)

Таким образом, точка А(4;-3;-1) принадлежит сфере.

Ответ: Точка А(4;-3;-1) принадлежит сфере.

5. Чтобы составить