1. Каково уравнение колебаний груза массой 0,5 кг на пружине с коэффициентом жесткости 50 Н/м и какое будет смещение

Puma_3557

67

колебания с периодом 2 с, через половину периода времени?

1. Для задачи о колебаниях груза на пружине, у нас есть следующее уравнение колебаний:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

где \(T\) - период колебаний, \(m\) - масса груза и \(k\) - коэффициент жесткости пружины.

Подставляя известные значения, получим:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{0,5 \, \text{кг}}{50 \, \text{Н/м}}} \approx 0,628 \, \text{с}\]

Теперь найдем момент времени \(t = \frac{T}{6}\). Подставляем значение периода и решаем:

\[t = \frac{0,628 \, \text{с}}{6} \approx 0,105 \, \text{с}\]

Теперь найдем смещение груза в этот момент времени. Для этого воспользуемся уравнением гармонических колебаний:

\[x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\]

где \(x(t)\) - смещение груза в момент времени \(t\), \(A\) - амплитуда колебаний, \(\omega\) - угловая частота колебаний и \(\varphi\) - начальная фаза.

Так как в начальный момент времени груз был отклонен на максимальное расстояние от положения равновесия (это значит, что \(x(0) = A\)), то мы можем записать:

\[x(t) = A\cos(\omega t)\]

Амплитуда колебаний (\(A\)) равна максимальному расстоянию от положения равновесия. По условию, оно не указано, поэтому предположим, что амплитуда составляет 0,1 метра.

Угловая частота колебаний (\(\omega\)) определяется следующим образом:

\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]

Подставляем значение периода и решаем:

\[\omega = \frac{2\pi}{0,628 \, \text{с}} \approx 10 \, \text{с}^{-1}\]

Теперь можем вычислить смещение груза в момент времени \(t = 0,105 \, \text{с}\):

\[x(0,105 \, \text{с}) = 0,1 \, \text{м} \cdot \cos(10 \, \text{с}^{-1} \cdot 0,105 \, \text{с}) \approx 0,078 \, \text{м}\]

Таким образом, смещение груза в момент времени \(t = 0,105 \, \text{с}\) составляет около 0,078 метра.

2. Для задачи о кинетической и потенциальной энергии шарика при гармонических колебаниях, у нас есть следующие формулы:

Кинетическая энергия шарика:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2\]

Потенциальная энергия шарика:

\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k x^2\]

где \(m\) - масса шарика, \(v\) - скорость шарика, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, и \(x\) - смещение шарика от положения равновесия.

Сначала найдем скорость шарика \(v\) через его амплитуду \(A\) и период колебаний \(T\). Для гармонических колебаний справедливо:

\[v = \omega A\]

где \(\omega\) - угловая частота колебаний.

Угловая частота колебаний определяется, как

\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]

Подставляем данный период и решаем:

\[\omega = \frac{2\pi}{4 \, \text{c}} = \frac{\pi}{2} \, \text{с}^{-1}\]

Теперь найдем скорость шарика:

\[v = \frac{\pi}{2} \, \text{с}^{-1} \cdot 0,25 \, \text{м} = 0,25\pi \, \text{м/с}\]

Теперь можно вычислить кинетическую энергию шарика через его массу и скорость:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot 0,02 \, \text{кг} \cdot (0,25\pi \, \text{м/с})^2 \approx 0,0098 \, \text{Дж}\]

Для потенциальной энергии нам потребуется смещение шарика от положения равновесия. По условию, смещение равняется амплитуде (\(x = A\)). Тогда:

\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} \cdot 50 \, \text{Н/м} \cdot (0,25 \, \text{м})^2 = 0,3125 \, \text{Дж}\]

Таким образом, через 1 с после начала колебаний, кинетическая энергия шарика составляет около 0,0098 Дж, а потенциальная энергия - около 0,3125 Дж.

3. Для задачи о маятнике, совершающем гармонические колебания, смещение маятника \(x\) изменяется по синусоидальному закону:

\[x(t) = A\sin(\omega t + \varphi)\]

где \(x(t)\) - смещение маятника в момент времени \(t\), \(A\) - амплитуда колебаний, \(\omega\) - угловая частота колебаний и \(\varphi\) - начальная фаза.

Длина маятника (\(L\)) равна 1 м и период колебаний (\(T\)) равен 2 с. Тогда угловая частота колебаний определяется следующим образом:

\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]

Подставляем известные значения и решаем:

\[\omega = \frac{2\pi}{2 \, \text{с}} = \pi \, \text{с}^{-1}\]

Теперь найдем смещение маятника через его амплитуду \(A\) и момент времени \(t = \frac{T}{2}\). Для симметричного маятника амплитуда равна максимальному смещению от положения равновесия. Так как у нас считается половина периода времени, то можно записать:

\[x\left(\frac{T}{2}\right) = A\sin\left(\omega \cdot \frac{T}{2} + \varphi\right)\]

Так как синус четна функция, то значение синуса при аргументе \(\omega \cdot \frac{T}{2}\) будет равно 0. То есть, смещение маятника в этот момент времени \(t = \frac{T}{2}\) будет равно 0.

Таким образом, смещение маятника длиной 1 м, совершающего гармонические колебания, через половину периода времени равно 0 метров.