1. Каково значение d, при котором векторы MO и Ск коллинеарны, если М(-2;-1), O(4;-3), C(-1; d-1), K(-4;-1)? 2. Найти

Yaguar

70

Хорошо, решим поставленные задачи шаг за шагом:

1. Для того, чтобы векторы MO и СК были коллинеарными, их направления должны совпадать. Используем формулу для нахождения направляющего вектора для двух точек: \(\vec{AB} = B - A\).

Найдем направляющий вектор для вектора MO:
\(\vec{MO} = O - M = (4; -3) - (-2; -1) = (6; -2)\).

Аналогично найдем направляющий вектор для вектора СК:
\(\vec{SK} = K - C = (-4; -1) - (-1; d-1) = (-3; d)\).

Теперь векторы \(\vec{MO}\) и \(\vec{SK}\) должны быть коллинеарными, то есть должны пропорциональны их координаты. То есть выполняется равенство:
\(\frac{{x_1}}{{x_2}} = \frac{{y_1}}{{y_2}}\).

Применяя это равенство к нашим векторам, получаем:
\(\frac{{6}}{{-3}} = \frac{{-2}}{{d}}\).

Теперь решим это уравнение относительно \(d\):
\(-2d = 6 \cdot -3\).

Решаем уравнение:
\(-2d = -18\),
\(d = \frac{{-18}}{{-2}}\),
\(d = 9\).

Значение \(d\), при котором векторы MO и СК коллинеарны, равно 9.

2. Чтобы найти координаты вектора \(2\vec{C} - \vec{P}\), мы должны первоначально найти векторы \(\vec{C}\) и \(\vec{P}\):
\(\vec{C} = (4; -1)\),
\(\vec{R} = (-3; 1)\).

Теперь мы можем вычислить вектор \(2\vec{C} - \vec{R}\):
\(2\vec{C} - \vec{R} = 2(4; -1) - (-3; 1) = (8; -2) - (-3; 1) = (11; -3)\).

Таким образом, координаты вектора \(2\vec{C} - \vec{R}\) равны (11; -3).

3. Поскольку стороны квадрата \(МОКС\) равны 1, давайте найдем расстояние между точками \(М\) и \(О\), а также между точками \(К\) и \(С\).

Для нахождения расстояния между двумя точками используется формула расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
\(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\).

Применяя эту формулу к точкам \(М(-2;-1)\) и \(О(4;-3)\), получаем:
\(МО = \sqrt{{(4 - (-2))^2 + (-3 - (-1))^2}} = \sqrt{{6^2 + (-2)^2}} = \sqrt{{36 + 4}} = \sqrt{{40}}\).

Аналогичным образом, применим формулу к точкам \(К(-4;-1)\) и \(С(-1;d-1)\):
\(КС = \sqrt{{(-1 - (-4))^2 + (d - 1 - (-1))^2}} = \sqrt{{3^2 + (d - 1 + 1)^2}} = \sqrt{{9 + d^2}}\).

Таким образом, МО равно \(\sqrt{{40}}\), а КС равно \(\sqrt{{9 + d^2}}\).

4. Для нахождения косинуса меньшего угла треугольника СРМ, мы должны найти длины всех сторон треугольника и затем использовать формулу косинуса угла.

Сначала найдем длины сторон треугольника СРМ, используя формулу для расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

Для стороны СМ:
\(d_{CM} = \sqrt{{(2 - (-2))^2 + (-6 - 8)^2}} = \sqrt{{4^2 + (-14)^2}} = \sqrt{{196 + 16}} = \sqrt{{212}}\).

Для стороны СР:
\(d_{CP} = \sqrt{{(6 - (-2))^2 + (2 - 8)^2}} = \sqrt{{8^2 + (-6)^2}} = \sqrt{{64 + 36}} = \sqrt{{100}} = 10\).

Для стороны РМ:
\(d_{RP} = \sqrt{{(6 - 2)^2 + (2 - (-6))^2}} = \sqrt{{4^2 + 8^2}} = \sqrt{{16 + 64}} = \sqrt{{80}}\).

Теперь применим формулу косинуса угла:
\(\cos{\angle CMR} = \frac{{d_{CM}^2 + d_{RP}^2 - d_{CP}^2}}{{2 \cdot d_{CM} \cdot d_{RP}}}\).

Подставим найденные значения:
\(\cos{\angle CMR} = \frac{{(\sqrt{{212}})^2 + (\sqrt{{80}})^2 - 10^2}}{{2 \cdot \sqrt{{212}} \cdot \sqrt{{80}}}}\).

После вычислений:
\(\cos{\angle CMR} = \frac{{212 + 80 - 100}}{{2 \cdot \sqrt{{212}} \cdot \sqrt{{80}}}}\).

\(\cos{\angle CMR} = \frac{{192}}{{2 \cdot \sqrt{{212}} \cdot \sqrt{{80}}}}\).

\(\cos{\angle CMR} = \frac{{192}}{{2 \cdot \sqrt{{4240}}}}\).

\(\cos{\angle CMR} = \frac{{192}}{{2 \cdot \sqrt{{16 \cdot 265}}}}\).

\(\cos{\angle CMR} = \frac{{192}}{{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{{265}}}}\).

\(\cos{\angle CMR} = \frac{{48}}{{\sqrt{{265}}}}\).

Таким образом, мы получили косинус меньшего угла треугольника и он равен \(\frac{{48}}{{\sqrt{{265}}}}\).