1. Каковы координаты точек, симметричных точке E (9; −5) и F (−4; 0) относительно: 1) оси ординат; 2) оси абсцисс

Летучая

61

1. Для нахождения симметричных точек относительно осей координат или начала координат, мы меняем знаки у соответствующих координат точки.

1) Ось ординат проходит через точку (0, y), где y принимает любые значения на числовой прямой. Симметричная точка по отношению к оси ординат для точки E (9, -5) будет иметь координаты (-9, -5), а для точки F (-4, 0) - (4, 0).

2) Ось абсцисс проходит через точку (x, 0), где x принимает любые значения на числовой прямой. Симметричная точка по отношению к оси абсцисс для точки E (9, -5) будет иметь координаты (9, 5), а для точки F (-4, 0) - (-4, -0).

3) Начало координат имеет координаты (0, 0). Симметричная точка по отношению к началу координат для точки E (9, -5) будет иметь координаты (-9, 5), а для точки F (-4, 0) - (4, -0).

2. Треугольник MNK изображается с помощью трех точек на плоскости: M, N и K. Каждая точка имеет свои координаты.

1) Параллельный перенос треугольника MNK на вектор означает, что все его вершины M, N и K смещаются на одинаковые расстояния в заданном направлении.

2) Симметрия относительно точки K означает, что треугольник отражается относительно точки K, и его вершины меняют свои положения.

3) Симметрия относительно прямой NK означает, что треугольник зеркально отражается относительно прямой, проходящей через точки N и K, и меняет свою ориентацию.

3. Для нахождения координат точки B1 (-8, y), полученной от точки B (x, 6) при гомотетии с центром в H (-2, 1) и коэффициенте увеличения k, необходимо применить формулы для гомотетии.

Формула для нахождения новых координат точки B1 по гомотетии:
\[B1 = H + k \cdot (B - H)\]

Подставляем значения координат точек:
\[(-8, y) = (-2, 1) + k \cdot ((x, 6) - (-2, 1))\]

Раскрываем скобки и выражаем каждую координату отдельно:
\[-8 = -2 + k \cdot (x + 2)\]
\[y = 1 + k \cdot (6 - 1)\]

Таким образом, значения x и y будут зависеть от коэффициента увеличения k.

4. Для нахождения площади трапеции DPNM, если прямая, параллельная стороне DM треугольника DKM, пересекает его сторону MN, мы можем использовать следующий подход:

Обозначим точку пересечения этой прямой со стороной MN как точку A.

Известно, что прямые DM и AN параллельны и имеют общее направление, поэтому их коэффициенты наклона равны. Мы можем использовать это свойство для решения задачи.

1) Найдем коэффициент наклона прямой DM:
\[k_1 = \frac{{y_M - y_D}}{{x_M - x_D}}\]

2) Зная координаты точки A (x_A, y_A), которая лежит на прямой AN, можем записать уравнение этой прямой в виде:
\[y - y_A = k_1 \cdot (x - x_A)\]

3) Находим координаты точки A, подставляя x_A и y_A в уравнение прямой AN:
\[y_A - y_M = k_1 \cdot (x_A - x_M)\]
\[y_A = k_1 \cdot (x_A - x_M) + y_M\]

4) Так как точка A лежит на отрезке MN, ее координаты должны удовлетворять условиям:
\[y_M \leq y_A \leq y_N\]
\[x_M \leq x_A \leq x_N\]

5) Площадь трапеции DPNM можно найти, используя формулу:
\[S = \frac{{AB + CD}}{2} \cdot h\]
где AB и CD - длины параллельных сторон трапеции, а h - высота трапеции (расстояние между параллельными сторонами).

Для более подробного решения, пожалуйста, предоставьте координаты точек M, N, D, и K.