1) Каковы координаты векторов ac и ad, если даны точки a(2; -1), c(3; 2) и d(-3; 1)? 2) Чему равны модули векторов

Martyshka

52

1) Для нахождения координат вектора \(ac\) нужно вычислить разность между координатами конечной точки \(c\) и начальной точки \(a\):
\[ac = (3 - 2; 2 - (-1)) = (1; 3)\]

Аналогично, координаты вектора \(ad\) можно найти как разность между координатами точек \(d\) и \(a\):
\[ad = (-3 - 2; 1 - (-1)) = (-5; 2)\]

2) Модуль (длина) вектора \(ac\) вычисляется с использованием формулы:
\[|ac| = \sqrt{(1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\]

Модуль (длина) вектора \(ad\) вычисляется аналогично:
\[|ad| = \sqrt{(-5)^2 + (2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}\]

Таким образом, модуль вектора \(ac\) равен \(\sqrt{10}\), а модуль вектора \(ad\) равен \(\sqrt{29}\).

3) Для нахождения координат вектора \(ef\) нужно вычислить разность между двумя векторами \(3ac\) и \(2ad\):
\[ef = 3ac - 2ad = 3(1; 3) - 2(-5; 2) = (3; 9) - (-10; 4) = (13; 5)\]

Таким образом, координаты вектора \(ef\) равны (13; 5).

4) Скалярное произведение двух векторов \(ac\) и \(ad\) определяется как сумма произведений соответствующих координат:
\[ac \cdot ad = (1 \cdot -5) + (3 \cdot 2) = -5 + 6 = 1\]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(ac\) и \(ad\) равно 1.

5) Косинус угла между векторами \(ac\) можно вычислить с использованием формулы:
\[\cos(\theta) = \frac{ac \cdot ac}{|ac| \cdot |ac|} = \frac{(1 \cdot 1) + (3 \cdot 3)}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{10}{10} = 1\]

Таким образом, косинус угла между векторами \(ac\) равен 1.