Каков объём правильной четырёхугольной призмы, у которой сторона основания равна корню из 2, и диагональ составляет

Лебедь

34

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать знания о геометрии и формулах для объёма призмы.

Сначала давайте разберемся с данными в задаче. У нас есть призма с правильным четырёхугольным основанием. По условию, сторона основания равна корню из 2. Давайте обозначим её как \(a\).

Теперь давайте рассмотрим диагональ, которая составляет угол 30 градусов с плоскостью боковой грани призмы. Для обозначения диагонали будем использовать букву \(d\).

Чтобы найти объём призмы, нам нужно знать её высоту. Обозначим высоту призмы как \(h\). Эту высоту мы можем определить, зная длину диагонали \(d\) и высоту \(h_1\) боковой грани, которая составляет угол 30 градусов с плоскостью основания призмы.

Теперь, чтобы найти объём призмы, мы используем формулу:

\[
V = S_{\text{основания}} \times h
\]

где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания призмы.

Для дальнейшего решения задачи, давайте немного углубимся в геометрию и рассмотрим боковую грань призмы. Если мы представим эту грань как треугольник, то верно следующее соотношение: длина высоты треугольника \(h_1\) равна половине длины диагонали \(d\).

Зная это, мы можем определить высоту треугольника \((h_1)\) и, следовательно, высоту призмы \((h)\):

\[
h = 2 \times h_1
\]

Для того чтобы вычислить площадь основания \((S_{\text{основания}})\), мы можем воспользоваться формулой для площади четырёхугольника, составленного из равносторонних треугольников:

\[
S_{\text{основания}} = 4 \times \left(\frac{1}{2} \times a^2 \times \frac{\sqrt{3}}{4}\right)
\]

Теперь, имея все необходимые величины, мы можем подставить их в формулу для объёма призмы:

\[
V = S_{\text{основания}} \times h
\]

или

\[
V = 4 \times \left(\frac{1}{2} \times a^2 \times \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \times 2 \times h_1
\]

Подставляя значения, получаем:

\[
V = \sqrt{2}^2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2 \times \left(\frac{d}{2}\right)
\]

Теперь осталось только упростить эту формулу и решить:

\[
V = 2 \times \frac{3\sqrt{2}}{4} \times \frac{d}{2} = \frac{3\sqrt{2} \cdot d}{4}
\]

Получили ответ: объём данной четырёхугольной призмы равен \(\frac{3\sqrt{2} \cdot d}{4}\) или можно сказать просто \(0.75\sqrt{2} \cdot d\), где \(d\) - длина диагонали призмы.