1. Каковы значения ожидания и дисперсии числа появлений герба при броске монеты 7 раз? 2. Какова дисперсия случайной

Аида

57

1. Для решения этой задачи нам понадобится знание о броске монеты. При броске монеты есть два возможных исхода - выпадение герба (Г) или выпадение решки (Р). Вероятность выпадения каждого из этих исходов равна 0,5.

Ожидаемое значение числа появлений герба можно найти умножением вероятности каждого исхода на его значение и сложением результатов:
Ожидаемое значение = (0,5 * 1) + (0,5 * 0) + (0,5 * 1) + (0,5 * 0) + (0,5 * 1) + (0,5 * 0) + (0,5 * 1) = 3,5

То есть ожидаемое значение числа появлений герба при броске монеты 7 раз равно 3,5.

Дисперсия числа появлений герба можно найти с использованием формулы:
Дисперсия = (0,5 * (1 - 3,5)^2) + (0,5 * (0 - 3,5)^2) + (0,5 * (1 - 3,5)^2) + (0,5 * (0 - 3,5)^2) + (0,5 * (1 - 3,5)^2) + (0,5 * (0 - 3,5)^2) + (0,5 * (1 - 3,5)^2) = 2,92

Таким образом, дисперсия числа появлений герба при броске монеты 7 раз равна 2,92.

2. Для решения этой задачи нам понадобится знание о броске игрального кубика. Кубик имеет 6 граней, на каждой из которых написаны числа от 1 до 6. Вероятность выпадения каждого из этих чисел равна \(\frac{1}{6}\).

Для нахождения дисперсии случайной величины X, представляющей число выпавших очков при броске игрального кубика, мы должны знать ожидаемое значение этой величины. Ожидаемое значение числа выпавших очков равно:
Ожидаемое значение = (1 * \(\frac{1}{6}\)) + (2 * \(\frac{1}{6}\)) + (3 * \(\frac{1}{6}\)) + (4 * \(\frac{1}{6}\)) + (5 * \(\frac{1}{6}\)) + (6 * \(\frac{1}{6}\)) = 3,5

Затем мы можем использовать формулу для расчета дисперсии:
Дисперсия = (1 - 3,5)^2 * \(\frac{1}{6}\) + (2 - 3,5)^2 * \(\frac{1}{6}\) + (3 - 3,5)^2 * \(\frac{1}{6}\) + (4 - 3,5)^2 * \(\frac{1}{6}\) + (5 - 3,5)^2 * \(\frac{1}{6}\) + (6 - 3,5)^2 * \(\frac{1}{6}\)

Вычисляя эту формулу, получим:
Дисперсия = 2,92

Таким образом, дисперсия случайной величины X, представляющей число выпавших очков при броске игрального кубика, равна 2,92.

3. В данной задаче нам дана вероятность брака для каждого изделия - 0,02. Также известно, что партия состоит из 5000 изделий.

Ожидаемое значение числа бракованных изделий можно найти, умножив общее количество изделий на вероятность брака:
Ожидаемое значение = 5000 * 0,02 = 100

То есть ожидаемое значение числа бракованных изделий в партии из 5000 изделий равно 100.

Дисперсию можно найти, используя формулу для биномиального распределения:
Дисперсия = n * p * (1 - p)

Где n - количество испытаний (в данном случае 5000), p - вероятность успеха (вероятность брака, в данном случае 0,02).

Вычисляя эту формулу, получим:
Дисперсия = 5000 * 0,02 * (1 - 0,02) = 96

Таким образом, дисперсия числа бракованных изделий в партии из 5000 изделий равна 96.

4. Для нахождения центральных моментов первого, второго, третьего и четвертого порядков нам необходимо использовать формулы и заданные значения распределения.

Центральный момент первого порядка (среднее значение) для данного распределения равен:
М_1 = p_1 * x_1 + p_2 * x_2 + ... + p_n * x_n = 0,2 * 3 + 0,8 * 5 = 4,4

Центральный момент второго порядка (дисперсия) можно вычислить следующим образом:
М_2 = (x_1 - M_1)^2 * p_1 + (x_2 - M_1)^2 * p_2 + ... + (x_n - M_1)^2 * p_n = (3 - 4,4)^2 * 0,2 + (5 - 4,4)^2 * 0,8 = 0,64

Центральный момент третьего порядка может быть найден по формуле:
М_3 = (x_1 - M_1)^3 * p_1 + (x_2 - M_1)^3 * p_2 + ... + (x_n - M_1)^3 * p_n

Центральный момент четвертого порядка (эксцесс) можно вычислить следующим образом:
М_4 = (x_1 - M_1)^4 * p_1 + (x_2 - M_1)^4 * p_2 + ... + (x_n - M_1)^4 * p_n

Подставляя значения из заданного распределения, мы можем найти все центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков для данной дискретной случайной величины X.