1) Какой косинус угла между апофемами смежных боковых граней правильной четырехугольной пирамиды при длине бокового

Мария

52

Для решения первой задачи нам потребуется найти значение косинуса угла между апофемами смежных боковых граней правильной четырехугольной пирамиды.

Пусть ABCD - основание пирамиды, где AB = BC = CD = AD = 4 (длина бокового ребра), и E - середина ребра BC. Также E" - середина ребра AD. Искомый угол между апофемами будет углом между отрезками AE и AE".

Первым шагом найдем длину отрезка AE. Так как AE является высотой боковой грани пирамиды, она равна \(\frac{√3}{2}\) умножить на длину бокового ребра, то есть \(\frac{√3}{2} \cdot 4 = 2√3\).

Далее найдем длину отрезка AE" с помощью теоремы Пифагора. Из прямоугольного треугольника AEE" получаем следующее уравнение: \(AE"^2 = AE^2 - EE"^2\). Так как AE = 2√3, а EE" = \(\frac{1}{2}\) от BC = 2, подставляем значения и находим \(AE"^2 = (2√3)^2 - 2^2 = 12 - 4 = 8\).

Отсюда получаем, что \(AE" = √8 = 2√2\).

Теперь мы можем найти значение косинуса угла между отрезками AE и AE". Воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами:

\[
\cos(\theta) = \frac{AE \cdot AE"}{|AE| \cdot |AE"|}
\]

Подставим значения и вычислим:

\[
\cos(\theta) = \frac{2√3 \cdot 2√2}{2√3 \cdot 2√2} = \frac{4√6}{12} = \frac{√6}{3}
\]

Таким образом, косинус угла между апофемами смежных боковых граней правильной четырехугольной пирамиды равен \(\frac{√6}{3}\).

Перейдем ко второй задаче. Нам необходимо найти площадь сечения, проходящего через вершину A и середины ребер BB1 и CC1, у правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 с высотой \(2√7\) и стороной основания

AB = BC = CA = a.

Мы знаем, что площадь треугольного сечения призмы можно найти, умножив половину произведения стороны основания на высоту сечения.

Так как треугольник ABC является равносторонним и его сторона равна a, площадь треугольника ABC можно найти по формуле:

\[S_{ABC} = \frac{√3}{4} \cdot a^2\]

Теперь найдем площадь параллелограмма, образованного отрезками BB1 и CC1.

Параллелограмм, образованный парой параллельных сторон равенсторонней призмы, имеет такую же площадь, как и треугольное сечение. Поэтому площадь параллелограмма равна площади треугольника ABC, то есть:

\[S_{BB1C1C} = \frac{√3}{4} \cdot a^2\]

Теперь можем найти общую площадь треугольного сечения и параллелограмма:

\[S_{сечения} = S_{ABC} + S_{BB1C1C} = \frac{√3}{4} \cdot a^2 + \frac{√3}{4} \cdot a^2 = \frac{√3}{2} \cdot a^2\]

Таким образом, площадь сечения, проходящего через вершину A и середины ребер BB1 и CC1, у правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна \(\frac{√3}{2} \cdot a^2\).