1. Какой объем теплоты нужно передать одноатомному газу при изобарном процессе, чтобы увеличить его объем в два раза

Лёля

31

Для решения этих задач мы можем использовать связь между внутренней энергией газа и объемом, температурой и числом молей. В данном случае, для одноатомного газа без внешней работы выполняется следующее соотношение:

\[ U = \frac{3}{2} nRT \]

где \( U \) - внутренняя энергия газа, \( n \) - количество молей газа, \( R \) - универсальная газовая постоянная, \( T \) - температура газа.

Теперь рассмотрим каждую задачу по отдельности:

1. В начальный момент времени объем газа \( V_1 \) равен исходному объему. После нагревания газа объем становится в два раза больше, т.е. \( V_2 = 2 \cdot V_1 \).

Из уравнения состояния идеального газа \( PV = nRT \) можно выразить давление газа \( P \) через исходный объем и начальную температуру:

\[ P_1 = \frac{nRT_1}{V_1} \]

После увеличения объема в два раза, для конечного состояния газа можно записать:

\[ P_2 = \frac{nRT_1}{V_2} = \frac{nRT_1}{2V_1} = \frac{P_1}{2} \]

Теперь рассчитаем работу \( W \), выполняемую на газе при изобарном процессе:

\[ W = P_1 \cdot (V_2 - V_1) = P_1 \cdot V_1 \cdot (2V_1 - V_1) = P_1 \cdot V_1^2 \]

Используя первое начало термодинамики, связанное с законом сохранения энергии, мы знаем, что работа \( W \) равна изменению внутренней энергии газа \( U \). Поэтому:

\[ U = W = P_1 \cdot V_1^2 \]

Теперь, зная, что внутренняя энергия газа связана с его температурой:

\[ U = \frac{3}{2} nRT_1 = P_1 \cdot V_1^2 \]

Мы можем решить это уравнение относительно исходной температуры \( T_1 \):

\[ T_1 = \frac{2 P_1 V_1^2}{3 nR} \]

Таким образом, чтобы увеличить объем одноатомного газа в два раза при изобарном процессе, необходимо передать теплоты в размере \(\frac{2 P_1 V_1^2}{3 nR}\).

2. Для данной задачи мы должны сохранить давление газа, но увеличить его объем и температуру.

Исходя из уравнения состояния идеального газа, мы можем записать:

\[ P_1 \cdot V_1 = nRT_1 \]

А после изменений объема и температуры:

\[ P_2 \cdot V_2 = nRT_2 \]

Также, учитывая, что объем увеличивается в два раза, \( V_2 = 2 \cdot V_1 \), а температура - в три раза, \( T_2 = 3 \cdot T_1 \), мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[ P_1 \cdot V_1 = nRT_1 \]
\[ P_2 \cdot (2V_1) = nR(3T_1) \]

Разделив оба уравнения, мы получим:

\[ \frac{P_1 \cdot V_1}{P_2 \cdot 2V_1} = \frac{T_1}{3T_1} \]

Упростив, получаем:

\[ \frac{P_1}{P_2 \cdot 2} = \frac{1}{3} \]

Таким образом, давление газа в конечном состоянии \( P_2 \) будет в 6 раз меньше, чем исходное давление \( P_1 \).

Из закона сохранения энергии \( U + W = Q \), где \( U \) - внутренняя энергия газа, \( W \) - работа, \( Q \) - теплота.

Поскольку давление газа не меняется, работа равна изменению внутренней энергии, или \( W = \Delta U \). Таким образом:

\[ P_1 \cdot (2V_1 - V_1) = \Delta U \]

Или:

\[ P_1 \cdot V_1 = \Delta U \]

Таким образом, внутренняя энергия газа изменится на величину \( P_1 \cdot V_1 \).

В итоге, внутренняя энергия газа в закрытом подвижном поршнем сосуде изменится на величину \( P_1 \cdot V_1 \), или можно сказать, что она увеличится в \( \frac{P_1 \cdot V_1}{nR} \) при увеличении объема в два раза и температуры в три раза при сохранении давления.