1) Какой объем у конуса с диаметром 18 см и высотой 3,5 см? 2) Найдите высоту цилиндра, если его объем равен 280π

Виталий

65

Задача 1:
Для того чтобы найти объем конуса, нам понадобится формула для его вычисления. Объем V конуса можно вычислить по формуле \( V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h \), где \( r \) - радиус основания конуса, \( h \) - высота конуса. Однако в задаче дан диаметр, а не радиус. Диаметр соотносится с радиусом следующим образом: \( r = \frac{d}{2} \), где \( d \) - диаметр. Поэтому для начала найдем радиус основания: \( r = \frac{18}{2} = 9 \) см. Теперь, подставим известные значения в формулу объема конуса: \( V = \frac{1}{3} \times \pi \times 9^2 \times 3,5 \) см. Посчитаем: \( V = \frac{1}{3} \times \pi \times 81 \times 3,5\) см³. Получаем ответ: объем конуса равен \( 94,395 \pi \) см³ (с точностью до трех знаков после запятой).

Задача 2:
Для решения этой задачи нам понадобится формула для объема цилиндра: \( V = \pi \times r^2 \times h \), где \( r \) - радиус основания цилиндра, \( h \) - высота цилиндра. В задаче дан объем цилиндра \( V = 280\pi \) м³ и радиус основания \( r = 14 \) дм. Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно \( h \): \( 280\pi = \pi \times 14^2 \times h \). Упростим уравнение: \( 280 = 196h \). Далее, разделим обе части уравнения на 196, чтобы найти значение \( h \): \( h = \frac{280}{196} = \frac{5}{7} \) м. Получаем ответ: высота цилиндра равна \( \frac{5}{7} \) м.

Задача 3:
Зная высоту конуса \( h = 8 \) и диаметр основания \( d = 14 \), необходимо найти образующую площадь поверхности конуса. Образующая конуса является гипотенузой правильного треугольника, образованного радиусом основания конуса, половиной высоты и образующей. По теореме Пифагора, длина образующей вычисляется по формуле \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \), где \( r \) - радиус основания конуса, \( h \) - высота конуса. В нашем случае, \( r = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) и \( h = 8 \). Подставим известные значения в формулу и вычислим образующую: \( l = \sqrt{7^2 + 8^2} = \sqrt{49 + 64} = \sqrt{113} \). Получаем ответ: образующая площади поверхности конуса равна \( \sqrt{113} \).

Задача 4:
Для того чтобы найти площадь поверхности шара, нам понадобится формула: \(S = 4\pi r^2\), где \(S\) - площадь поверхности шара, \(r\) - радиус шара. В нашем случае дана длина ребра куба \(a = 10\) см, а радиус шара равен половине длины ребра куба. Поэтому \(r = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5\) см. Теперь подставим известные значения в формулу и вычислим площадь поверхности шара: \(S = 4\pi \times 5^2 = 4\pi \times 25 = 100\pi\) см². Получаем ответ: площадь поверхности шара равна \(100\pi\) см².

Задача 5:
Для решения этой задачи нам понадобится формула для объема шара: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\), где \(V\) - объем шара, \(r\) - радиус шара. В задаче дана площадь его поверхности \(S = 44\pi\) см². Необходимо найти радиус шара. Для этого воспользуемся формулой для площади поверхности шара: \(S = 4\pi r^2\). Подставим известные значения и выразим радиус \(r\): \(44\pi = 4\pi r^2\). Разделим обе части уравнения на \(4\pi\) и получим: \(11 = r^2\). Извлекая корень, найдем радиус: \(r = \sqrt{11}\). Теперь, подставим радиус в формулу для объема и найдем его значение: \(V = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{11})^3 = \frac{4}{3}\pi \times 11\sqrt{11}\). Получаем ответ: объем шара равен \(\frac{44}{3}\pi\sqrt{11}\) см³.

Задача 6:
Для решения этой задачи нам необходимо узнать, как изменится объем конуса при увеличении радиуса основания в 2,5 раза. Объем V конуса вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\), где \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса. Если радиус увеличится в 2,5 раза, новый радиус будет \(2,5r\). Подставим новые значения радиуса и старые значения радиуса в формулу объема и найдем соотношение между объемами: \(\frac{V_{new}}{V_{old}} = \frac{\frac{1}{3}\pi (2,5r)^2 h}{\frac{1}{3}\pi r^2 h}\). Выполнив несложные алгебраические преобразования и сократив одинаковые члены, получим: \(\frac{V_{new}}{V_{old}} = (\frac{2,5r}{r})^2 = 2,5^2 = 6,25\). Получаем ответ: объем конуса увеличится в 6,25 раза.