Какова площадь боковой поверхности наклонной треугольной призмы, у которой все рёбра равны 4 см и боковое ребро

Aleksey

67

Чтобы найти площадь боковой поверхности наклонной треугольной призмы, нам понадобится узнать длину бокового ребра \(aa_1\).

У нас дано, что все рёбра равны 4 см, а боковое ребро \(aa_1\) образует углы по 30° с рёбрами оснований.

Для начала давайте построим треугольник \(aa_1A\), где \(A\) — вершина основания, а \(a_1\) — середина ребра \(AA_1\). Этот треугольник является равнобедренным, так как углы при основании равны по 30°.

Теперь обратимся к основанию треугольной призмы. У нас есть прямоугольный треугольник \(ABC\), где \(AB\) и \(BC\) равны 4 см. Поскольку одно из равных боковых рёбер содержит угол 30° с основанием, то оно делится пополам точкой \(D\) (серединой основания).

Так как треугольник \(ABC\) прямоугольный и известны катеты, мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти длину отрезка \(BD\). Так как угол при вершине \(B\) равен 90°, мы можем использовать тангенс угла \(A\) для нахождения отношения между противолежащим катетом и прилежащим катетом:

\[\tan(A) = \frac{{BC}}{{AB}}\]

Значение тангенса 30° известно и равно \(\frac{1}{{\sqrt{3}}}\). Подставим значения:

\[\frac{1}{{\sqrt{3}}} = \frac{{4}}{{BD}}\]

Чтобы найти длину \(BD\), решим уравнение:

\[BD = \frac{{4}}{{\frac{1}{{\sqrt{3}}}}} = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\]

Теперь, используя длину бокового ребра \(aa_1\) и высоту призмы \(BD\), мы можем найти площадь боковой поверхности треугольной призмы. Формула для площади боковой поверхности треугольной призмы:

\[S_{\text{бок}} = \text{периметр основания} \cdot \text{высоту призмы}\]

Так как треугольная призма имеет равнобедренный треугольник \(aa_1A\) в основании, периметр основания равен:

\[\text{периметр} = AB + BC + aa_1 = 4 + 4 + 4 = 12 \, \text{см}\]

Подставим значения в формулу:

\[S_{\text{бок}} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности наклонной треугольной призмы равна \(48\sqrt{3} \, \text{см}^2\).