1) Какой период колебаний в контуре, если емкость конденсатора равна 5 мкФ, а индуктивность катушки — 3 мГн? 2) Какой

Алексеевна

51

Решение:
1) Для определения периода колебаний в контуре, когда известны емкость конденсатора \(C\) и индуктивность катушки \(L\), мы можем использовать формулу:

\[ T = 2\pi\sqrt{LC} \]

где \(T\) - период колебаний, \(\pi\) - математическая константа (приблизительно равна 3,14), \(\sqrt{}\) - операция извлечения квадратного корня.

Заменяем значения в формулу:

\[ T = 2\pi\sqrt{(3 \cdot 10^{-3})(5 \cdot 10^{-6})} \]

\[ T = 2\pi\sqrt{15 \cdot 10^{-9}} \]

\[ T = 2\pi \cdot \sqrt{1,5 \cdot 10^{-8}} \]

\[ T = 2\pi \cdot 1,22 \cdot 10^{-4} \]

Выполняем вычисления:

\[ T \approx 7,65 \cdot 10^{-4} \]

Ответ: период колебаний в контуре составляет примерно \(7,65 \cdot 10^{-4}\) секунд.

2) Для данной задачи у нас имеются значения емкости конденсатора \(C\) и индуктивности катушки \(L\), для определения периода колебаний мы снова используем формулу:

\[ T = 2\pi\sqrt{LC} \]

Подставляем значения из условия:

\[ T = 2\pi\sqrt{(5 \cdot 10^{-6})(10 \cdot 10^{-12})} \]

Выполняем вычисления:

\[ T = 2\pi\sqrt{50 \cdot 10^{-18}} \]

\[ T = 2\pi \cdot \sqrt{5 \cdot 10^{-16}} \]

\[ T = 2\pi \cdot 7,07 \cdot 10^{-8} \]

\[ T \approx 4,44 \cdot 10^{-7} \]

Ответ: период колебаний в контуре составляет примерно \(4,44 \cdot 10^{-7}\) секунд.

3) Для определения частоты колебаний, когда известны емкость конденсатора \(C\) и индуктивность катушки \(L\), мы используем формулу:

\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

где \(f\) - частота колебаний.

Подставляем значения:

\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{(3 \cdot 10^{-3})(2 \cdot 10^{-6})}} \]

\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{6 \cdot 10^{-9}}} \]

\[ f = \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{0,6 \cdot 10^{-8}}} \]

Выполняем вычисления:

\[ f \approx \frac{1}{2\pi \cdot 2,45 \cdot 10^{-3}} \]

\[ f \approx \frac{1}{4,87 \cdot 10^{-3}} \]

\[ f \approx 205,33 \]

Ответ: частота колебаний в контуре составляет примерно 205,33 Гц.

4) В данной задаче у нас имеются значения емкости конденсатора \(C\) и индуктивности катушки \(L\), для определения частоты колебаний мы снова используем формулу:

\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

Подставляем значения:

\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{(5 \cdot 10^{-6})(10 \cdot 10^{-12})}} \]

Выполняем вычисления:

\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{50 \cdot 10^{-18}}} \]

\[ f = \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{5 \cdot 10^{-16}}} \]

\[ f \approx \frac{1}{2\pi \cdot 7,07 \cdot 10^{-8}} \]

\[ f \approx \frac{1}{4,44 \cdot 10^{-7}} \]

\[ f \approx 225,22 \]

Ответ: частота колебаний в контуре составляет примерно 225,22 Гц.

5) Для определения емкости конденсатора в колебательном контуре, когда известна частота колебаний \(f\) и индуктивность катушки \(L\), мы можем использовать формулу:

\[ C = \frac{1}{(2\pi f)^2 L} \]

Подставляем значения:

\[ C = \frac{1}{(2\pi \cdot 500)^2 \cdot 10^{-2}} \]

Выполняем вычисления:

\[ C = \frac{1}{(2\pi \cdot 500)^2 \cdot 10^{-2}} \]

\[ C = \frac{1}{(1000\pi)^2 \cdot 10^{-2}} \]

\[ C \approx 3,18 \cdot 10^{-10} \]

Ответ: емкость конденсатора в колебательном контуре с частотой 500 Гц и индуктивностью катушки в 10 мГн составляет примерно \(3,18 \cdot 10^{-10}\) Фарад.