1. Какой заряд q и радиус r у металлического шара, если потенциал электрического поля φ1 в его центре равен 200

Romanovna

7

Хорошо, давайте решим каждую из этих задач по очереди.

1. Для определения заряда \(q\) и радиуса \(r\) металлического шара, используем формулу для электрического поля \(E\) на поверхности проводника:

\[E = \frac{k \cdot q}{r^2}\]

где \(k\) - постоянная Кулона, равная \(9 \times 10^9 \, \text{В} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\).

Дано, что потенциал электрического поля в центре шара \(\phi_1 = 200 \, \text{В}\), а потенциал в точке \(а\) (\(\phi_2\)), находящейся на расстоянии \(\alpha = 50 \, \text{см} = 0.5 \, \text{м}\) от центра шара, равен \(100 \, \text{В}\).

Используя определение потенциала, мы можем записать:

\[\phi_1 = \frac{k \cdot q}{r_1}\]
\[\phi_2 = \frac{k \cdot q}{r_2}\]

где \(r_1\) - радиус в центре шара, а \(r_2\) - радиус в точке \(а\).

Используя значения \(\phi_1\), \(\phi_2\), \(r_1\), \(r_2\), мы можем составить систему уравнений:

\[\frac{k \cdot q}{r_1} = \phi_1\]
\[\frac{k \cdot q}{r_2} = \phi_2\]

Теперь решим эту систему уравнений относительно \(q\) и \(r\).

Для начала, найдем значение \(r_1\).
Известно, что потенциал электрического поля в центре шара равен 200 В, а \(r_1\) - радиус в центре шара. Отсюда можно записать:

\[\frac{k \cdot q}{r_1} = \phi_1\]
\[\frac{k \cdot q}{r_1} = 200\]

Выразим \(r_1\) относительно \(q\):

\[r_1 = \frac{k \cdot q}{200}\]

Теперь найдем значение \(r_2\).
Известно, что потенциал электрического поля в точке \(а\), которая находится на расстоянии 50 см от центра шара, равен 100 В, а \(r_2\) - радиус в точке \(а\). Отсюда можно записать:

\[\frac{k \cdot q}{r_2} = \phi_2\]
\[\frac{k \cdot q}{r_2} = 100\]

Выразим \(r_2\) относительно \(q\):

\[r_2 = \frac{k \cdot q}{100}\]

Получили систему уравнений для \(q\) и \(r\):

\[
\left\{
\begin{align*}
r_1 &= \frac{k \cdot q}{200} \\
r_2 &= \frac{k \cdot q}{100}
\end{align*}
\right.
\]

Теперь решим эту систему уравнений. Для этого, разделим одно уравнение на другое:

\[\frac{r_2}{r_1} = \frac{\frac{k \cdot q}{100}}{\frac{k \cdot q}{200}}\]
\[\frac{r_2}{r_1} = 2\]

Из этого следует, что \(r_2 = 2r_1\).

Подставим это выражение обратно в одно из уравнений:

\(r_2 = \frac{k \cdot q}{100}\)
\(2r_1 = \frac{k \cdot q}{100}\)

Теперь разрешим это уравнение относительно \(q\):

\(2 \cdot \frac{k \cdot q}{200} = \frac{k \cdot q}{100}\)

\[2kq = kq\]

\(kq\) сокращается с обеих сторон уравнения.

Ответ: заряд \(q\) и радиус \(r\) металлического шара могут быть любыми значениями, при условии, что радиус \(r\) и заряд \(q\) связаны между собой соотношением \(2r = 1\). Значение \(r\) можно выбрать произвольно, например, \(r = 1\) метр, тогда \(q = 2 \times 10^{-9}\) Кл.

2. Чтобы найти максимальное значение заряда \(q\) сферического проводника, при котором происходит воздушный пробой проводника при напряженности поля \(E_{\text{пр}} = 3 \times 10^6 \, \text{В/м}\), мы можем использовать формулу для напряженности электрического поля на поверхности проводника:

\[E_{\text{пов}} = \frac{k \cdot q}{r^2}\]

где \(E_{\text{пов}}\) - напряженность поля на поверхности проводника, \(k\) - постоянная Кулона (уже определена выше), \(q\) - заряд проводника, \(r\) - радиус проводника.

Заметим, что напряженность поля на поверхности проводника равна или больше, чем напряженность поля во время воздушного пробоя, так как иначе не будет пробоя.

Подставим значения в формулу:

\[\frac{k \cdot q}{r^2} \geq E_{\text{пр}}\]
\[\frac{9 \times 10^9 \cdot q}{(0.1)^2} \geq 3 \times 10^6\]

Теперь решим это уравнение относительно \(q\):

\[\frac{9 \times 10^9 \cdot q}{0.01} \geq 3 \times 10^6\]
\(q \geq \frac{3 \times 10^6 \times 0.01}{9 \times 10^9}\)
\(q \geq 3 \times 10^{-6} \, \text{Кл}\)

Таким образом, максимальное значение заряда \(q\) для сферического проводника радиусом \(r = 0.1 \, \text{м}\) составляет \(3 \times 10^{-6} \, \text{Кл}\).

3. Для вычисления напряжения \(U\) на сопротивлении \(R\) при заданной силе тока \(I\), мы можем использовать закон Ома:

\[U = R \cdot I\]

Дано, что сопротивление \(R = 50 \, \text{Ом}\), а сила тока \(I = 0.60 \, \text{А}\). Подставляем значения:

\[U = 50 \, \text{Ом} \cdot 0.60 \, \text{А}\]
\[U = 30 \, \text{В}\]

Таким образом, напряжение на сопротивлении \(R = 50 \, \text{Ом}\) при силе тока \(I = 0.60 \, \text{А}\) равно \(30 \, \text{В}\).